345.4
ให้ $\sqrt x = a$ , $\frac{{\sqrt x }}{{x\sqrt x - 3\sqrt x + 3}} = k$
ดังนั้น
$\frac{a}{{a^3 - 3a + 3}} = k$ โดยที่ $a \ge 0$
$a = ka^3 - 3ka + 3k$
$ka^3 - (3k + 1)a + 3k = 0$
ถ้า $k = 0 \to - a = 0 \to a = 0 \to x = 0$
$k \ne 0 \to ka^3 - (3k + 1)a + 3k = 0$
$a{}^3 - \left( {3 + \frac{1}{k}} \right)a + 3 = 0$
กรณี 1: $k \ge 1$
$k = 1$ ได้ $a^3 - 4a + 3 = 0 \to a = 1,\frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{2}$
แต่ $a > 0 \to a = 1,\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}$
$k \ge 2 \to a{}^3 - \left( {3 + \frac{1}{k}} \right)a + 3 \ge a^3 - 3.5a + 3$
จะหาค่าต่ำสุดของ $a^3 - 3.5a + 3$
$f(a) = a^3 - 3.5a + 3$
$f'(a) = 3a^2 - 3.5 = 0 \to a = \frac{{\sqrt {42} }}{6}$
$a{}^3 - \left( {3 + \frac{1}{k}} \right)a + 3 \ge a^3 - 3.5a + 3 \ge \left( {\frac{{\sqrt {42} }}{6}} \right)^3 - 3.5\left( {\frac{{\sqrt {42} }}{6}} \right) + 3 = \frac{{54 - 7\sqrt {42} }}{{18}} > 0$
ดังนั้น $a{}^3 - \left( {3 + \frac{1}{k}} \right)a + 3 \ne 0$
กรณี 2: $k \le - 1$
$a{}^3 - \left( {3 + \frac{1}{k}} \right) + 3 \ge a{}^3 - 3a + 3$
จะหาค่าต่ำ่สุดของ $a{}^3 - 3a + 3$
$g(a) = a{}^3 - 3a + 3$
$g'(a) = 3a^2 - 3 = 0 \to a = 1$
$a{}^3 - \left( {3 + \frac{1}{k}} \right) + 3 \ge a{}^3 - 3a + 3 \ge 1^3 - 3(1) + 3 = 1$
$a{}^3 - \left( {3 + \frac{1}{k}} \right) + 3 \ne 0$
ดังนั้นจาก $k=0$ ,กรณี 1 ,กรณี 2 ได้ว่า
$a = 0,1,\frac{{\sqrt {13} - 1}}{2}$
ดังนั้น $x = 0,1,\frac{{7 - \sqrt {13} }}{2}$