อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ThirdkunG
2. ให้ $f(x)$ เป็นพหุนามกำลัง $4$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ $a,b,c \in I$
ถ้า $f(a) = f(b) = 4$ และ $f(c) = 7$ และถ้า $\left|c-a\right| = 3$ แล้วจงหา $\left|c-b\right| $
|
ให้ $g(x) = f(x) - 4$
จะได้ $g(a) = f(a) - 4 = 0$ และ $g(b) = f(b) - 4 = 0$
นั่นคือ $a$ และั $b$ เป็นรากของ $g(x)$
แสดงว่า $g(x)$ สามารถเขียนได้ในรูป
$g(x) = k(x-a)(x-b)(x-d_1)(x-d_2)$ โดย $k, d_1, d_2 \in I$ และ $k \not= 0$
จะได้ $\left|g(c)\right| = \left|k\right|\left|c-a\right|\left|c-b\right|\left|c-d_1\right|\left|c-d_2\right|$
จาก $\left|c-a\right| = 3$ นั่นคือ $\left|g(c)\right| = 3\left|k\right|\left|c-b\right|\left|c-d_1\right|\left|c-d_2\right|\,..........(1)$
แต่ $g(c) = f(c) - 4$ จะได้ $\left|g(c)\right| = 3\,..........(2)$
$(1)/(2); 1 = \left|k\right|\left|c-b\right|\left|c-d_1\right|\left|c-d_2\right|$
แสดงว่า $\left|k\right|,\left|c-b\right|,\left|c-d_1\right|$ และ $\left|c-d_2\right|$ ต่างเป็นตัวประกอบที่เป็นบวกของ 1 (ซึ่งคือ 1 เท่านั้น)
ดังนั้น $\left|c-b\right| = 1$