จาก $\frac{1+a}{b}+\frac{1+b}{c}+\frac{1+c}{a}$ เป็นจำนวนเต็ม
ได้ $\frac{ac+ac^2+ab+ab^2+bc+bc^2}{abc}$ เป็นจำนวนเต็ม
$abc\vert ac+ac^2+ab+ab^2+bc+bc^2$
ให้ $\gcd(a,b,c)=k$ และ $a=kx,b=ky,c=kz$
จะได้ $k^3xyz \vert k^2(xy+yz+zx)+k^3(x^2z+xy^2+yz^2)$
แต่ $k^3 \vert k^3xyz$ ดังนั้น $k^3 \vert k^2(xy+yz+zx)+k^3(x^2z+xy^2+yz^2)$
จาก $k^3 \vert k^3(x^2z+xy^2+yz^2)$
ดังนั้น $k^3 \vert k^2(xy+yz+zx)$
$k \vert xy+yz+zx $ เนื่องจาก $a,b,c \in \mathbb{N} $ ดังนั้น $xy+yz+zx\geq k$
จะได้ $\sqrt[3]{ab+bc+ca}=\sqrt[3]{k^2(xy+yz+zx)} \geq \sqrt[3]{k^2k} =k=\gcd(a,b,c)$
16 เมษายน 2008 20:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ OsTan
เหตุผล: พิมพ์ผิด
|