[dektep]

301.5 ไม่มั่นใจเท่าไหร่ครับช่วยเช็คด้วยครับ
Find the maximum value of $3(a+b+c)-22abc$ where $a,b,c \in \mathbb{R}$ such that $a^2+b^2+c^2=1$
Solution $1=a^2+b^2+c^2 \geq b^2+c^2 \geq 2bc$
โดยอสมการ $Cauchy-Schwarz ; 3a+3b+3c-22abc = a(3-22bc)+3(b+c)$
$\leq \sqrt{a^2+(b+c)^2}\sqrt{(3-22bc)^2+9} = \sqrt{(1+2bc)(18-132bc+484(bc)^2)}$
ให้ $bc = x$ จะได้ว่า $bc \leq \frac{1}{2}$
ดังนั้น $\sqrt{(1+2bc)(18-132bc+484(bc)^2)} = \sqrt{(1+2x)(484x^2-132x+19)} \leq 5\sqrt{6}$