รายละเอียดอื่นๆเกี่ยวกับผลคะแนน และสิ่งที่คาดว่าจะทำในรอบถัดไป หรือข้อปรับปรุงอื่นๆ จะแจ้งให้ทราบพร้อมผลคะแนนนะครับ
หมดเวลาการแข่งขันรอบ 0 แล้ว ตอนนี้เชิญชวนสมาชิกทุกท่านลุยโจทย์ใน longlist ได้ ณ บัดนี้
หมายเหตุ: โจทย์ที่ใช้ในการแข่งขันคือข้อ 1,2,6,9,10,11
1. รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีเส้นรอบรูปยาว $2s$ ให้ $R,r,S$ เป็นรัศมีวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ รัศมีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $ABC$ และพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ ตามลำดับ และผลบวกของส่วนกลับของความยาวด้านแต่ละด้านมีค่าไม่เกิน $1$ (นั่นคือ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 1$)
จงพิสูจน์ว่า $$Rr >\ (\frac{3}{2s})^3\sqrt{2S^3}$$
(เสนอโดยคุณ owlpenguin แต่งโจทย์เอง)
2. ให้ $a,$ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ จงพิสูจน์ว่า $$\frac {a}{a^3 + b^2 + c + 3} + \frac {b}{b^3 + c^2 + a + 3} + \frac {c}{c^3 + a^2 + b + 3}\leq\frac {1}{2}$$
(เสนอโดยคุณ dektep จากกระทู้
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=201004 )
3. จงหาจำนวนจริง $a$
ทั้งหมดที่ทำให้ $$\displaystyle \left\lfloor\ \frac{a}{2} \right\rfloor+\left\lfloor\ \frac{a}{3} \right\rfloor+\left\lfloor\ \frac{a}{5} \right\rfloor = a $$
(เสนอโดยคุณ Art_ninja จาก Canadian MO 1998)
4. ให้ $a,b,c>0$ โดยที่ $abc=1$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a^5b}{a+1}+\frac{b^5c}{b+1}+\frac{c^5a}{c+1}\geq\frac{3}{2}$$
(เสนอโดยคุณ nooonuii แต่งโจทย์เอง)
5. ถ้า $\mu^{13}=1 $ and $\mu\not=1$ จงหาสมการกำลังสองที่มีรากเป็น
$\qquad\qquad\mu+\mu^3+\mu^4+\mu^{-4}+\mu^{-3}+\mu^{-1}\qquad$ และ $\qquad\mu^2+\mu^5+\mu^6+\mu^{-6}+\mu^{-5}+\mu^{-2}$
(เสนอโดยคุณ kanakon จาก Mathematics Olympiad ,Rajeev Manocha)
6. กำหนด $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$ นิยามโดย $f(x)=(x+1)x^{(x-1)^{-1}}$
จงหาค่าของ $f(2008)f(\displaystyle{\frac{1}{2551}})-f(2551)f(\displaystyle{\frac{1}{2008}})$
(เสนอโดยคุณ Mathophile ดัดแปลงจากโจทย์ในหนังสือ "ลูกเล่น" คณิตศาสตร์ (หน้า 281) โดย สุทธิพจน์ สุปัญญาโชติสกุล)
7. ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ต่อ AD ออกไปทาง D ไปยัง E ทำให้ BE ตัดกับ CD ที่ F และตัดกับ AC ที่ G ถ้า EG=32 และ EF=24 จงหา BG
(เสนอโดยคุณ aorn ไม่ทราบที่มาของโจทย์)
8. วงกลม $k_1$ และ $k_2$ ซึ่งมีจุดศูนย์กลาง $O_1$ และ $O_2$ ตามลำดับ สัมผัสกันภายนอกที่จุด $C$
ให้วงกลม $K$ ซึ่งมีจุดศูนย์กลาง $O$ สัมผัสกับวงกลมทั้งสองและ $l$ เป็นเส้นสัมผัสร่วมของ $k_1$ และ $k_2$
ณ จุด $C$ และให้ $AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม $O$ โดยที่ $AB \perp l$
จงพิสูจน์ว่า $AO_2,BO_1,l$ ตัดกันที่จุด ๆ เดียว
(เสนอโดยคุณ Erken จาก
http://www.imomath.com/index.php?opt...n=Bulgaria&p=0
และ
http://www.imomath.com/othercomp/Bul/BulMO396.pdf )
9. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดซึ่งมีสมบัติต่อไปนี้
(i) $100 \leq n \leq 400$
(ii) $n$ กับ $2551n$ มีสามหลักสุดท้ายเหมือนกัน
(iii) $n$ มีตัวประกอบบวกทั้งหมด $12$ จำนวน
(เสนอโดยคุณ หยินหยาง ไม่ทราบที่มาของโจทย์)
10. จงพิสูจน์ว่า $$\tan\,50^{\circ}\,\tan\,60^{\circ}\,\tan\,70^{\circ} = \tan\,80^{\circ}$$
(เสนอโดยคุณ Heir of Ramanujan ไม่ทราบที่มาของโจทย์)
11. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ จงหาจำนวนสับเซต $A\subset\{ 1,2,\dots,2n \}$ ที่ไม่มีสมาชิกสองตัว $x,y$ ใดใน $A$ ที่ทำให้ $x+y=2n+1$
(เสนอโดยคุณ nongtum จาก Swiss MO 2006 รอบคัดเลือก)
12. ให้ $a, b, c > 0$ โดยที่ $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3abc$
จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a}{b^{2}c^{2}} + \frac{b}{c^{2}a^{2}} + \frac{c}{a^{2}b^{2}}\geqslant \frac{9}{a+b+c}$$
(เสนอโดยคุณ CmKaN ไม่ทราบที่มาของโจทย์)
13. $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับเงื่อนไข $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=4$$
จงพิสูจน์ว่า $$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+d^3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{d^3+a^3}{2}}\le 2(a+b+c+d)-4$$
(เสนอโดยคุณ RoSe-JoKer จาก Poland Second Round 2007 Day 2 ข้อสุดท้าย)
14. กำหนดให้ $x=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{7}-\frac{1}{\sqrt[3]{7}})$ จงหาค่าของ $(x+\sqrt{1+x^2})^{3}$
(เสนอโดยคุณ mercedesbenz จาก MY MATH ฉบับ December 2007)
15. กำหนดให้ $A,B$ เป็นเมตริกซ์มิติ 4 X 4 โดยที่ $A(adj( 2B^{-1} ))- I = B$ และ $\det B = 8$ จงหาค่าของ $\det (A-I)$
(เสนอโดยคุณ gnopy ไม่ทราบที่มาของโจทย์)
16. จงแสดงว่า $$\frac{20}{60}<\sin 20^\circ<\frac{21}{60}$$
(เสนอโดยคุณ Anonymous314 จาก IMO shortlists 1979)
17. วงกลม $C_{1}$ และ $C_{2}$ ตัดกันสองจุดที่ต่างกัน ให้ วงกลม $\omega$ เป็นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สัมผัสวงกลมทั้งสอง ให้ $r_{1},r_{2},r$ เป็นรัศมีวงกลม $C_{1}$ $C_{2}$ และ $\omega$ ตามลำดับ
จงแสดงว่า $$\frac{1}{r_{1}}+\frac{1}{r_{2}} >\frac{1}{r} $$
(เสนอโดยคุณ Ipod ไม่ทราบที่มาของโจทย์)
ปล. หวังว่าจะกะเวลาได้ 23:50 น. เป๊ะนะ