ให้ $AC \cap O=U , BC \cap O=V$
$$\because AB \left\Vert\,\right. O_1C$$ และ $$\hat{AOU}=\hat{CO_1U}$$
$$\rightarrow \hat{AUO}=\hat{COU_1}$$ ดังนั้น $O,U,O_1$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
$$\therefore \Delta{OAU} \sim \Delta{O_1UC}$$ นั่นคือ $$\frac{AU}{UC}=\frac{OU}{UO_1}=\frac{r}{r_1}$$
ทำในทำนองเดียวกันใน $O_2$ จะได้ว่า $$\frac{BV}{VC}=\frac{OV}{VO_2}=\frac{r}{r_2}$$
เพราะว่า $CP,BM,AN$ concurrent โดย $Ceva theorem ;$ $$\frac{AJ}{JB}=(\frac{AU}{UC})(\frac{VC}{BV})=\frac{r_2}{r_1}...........(1)$$
สมมติว่า $BO_1$ ตัด $l$ ที่ $X$ และ $AO_2$ ตัด $l$ ที่ $Y$
จาก $\Delta{BXJ} \sim \Delta{XCO_1}$ และ $\Delta{AYJ} \sim \Delta{YCO_2}$
$$\therefore \frac{XC}{XO}=\frac{r_1}{BJ} และ \frac{YC}{YO}=\frac{r_2}{AJ}.......(2)$$
จาก $(1),(2)$ จะได้ว่า $$\frac{XC}{XO}=\frac{YC}{YO}$$
$\therefore X \cong Y$ QED.
http://www.mediafire.com/imageview.p...yixd2z&thumb=4
