4. $$LHS = \sum_{cyclic}\frac{a^5b}{a+abc}=\sum_{cyclic}\frac{a^4b}{1+bc}=\sum_{cyclic}\frac{a^4b}{abc+bc}$$
$$=\sum_{cyclic}\frac{a^4}{ac+c} \geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca+a+b+c} $$
จะต้องพิสูจน์ว่า $$\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca+a+b+c} \geq \frac{3}{2}$$
$$\longleftrightarrow 2(a^4+b^4+c^4)+4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \geq 3(ab+bc+ca)+3(a+b+c)..........(*)$$
ซึ่งเป็นจริงโดย $$3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) \geq 3abc(a+b+c)=3(a+b+c)........(1)$$
และ $$Am-Gm ; 2(a^4+b^4+c^4)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = \sum_{cyclic}(a^4+a^4+b^2c^2) $$
$$\geq 3\sum_{cyclic}\sqrt[3]{a^8b^2c^2}=3(a^2+b^2+c^2) \geq 3(ab+bc+ca)..........(2)$$
จาก $(1),(2)$ จะได้ว่า $(*)$ เป็นจริง
|