ข้อ $1.$
วิธีทำ เพื่อให้ไม่สับสนให้ $S=\Delta = พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC$
ดังนั้น $R=\frac{abc}{4\Delta},r=\frac{\Delta}{s}$
$\therefore Rr=\frac{abc}{4s}=\frac{abc}{2(a+b+c)}=LHS$
พิจารณาว่า $RHS=\frac{27}{(2s)^3}\sqrt{2{\Delta}^3}$ $=\frac{27}{(a+b+c)^3}\sqrt{2{\Delta}^3}$
$LHS \geq RHS \leftrightarrow \frac{abc}{2(a+b+c)} \geq \frac{27}{(a+b+c)^3}\sqrt{2{\Delta}^3}$
$\leftrightarrow (a+b+c)^2abc \geq 54\sqrt{2}\sqrt{{\Delta}^3}..............(*)$
พิจารณาว่า $a,b,c$ เป็นด้านของสามเหลี่ยมดังนั้น $a+b-c,b+c-a,c+a-b$ เป็นจำนวนจริงบวก
โดย $Am-Gm$ จะได้ว่า $\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)} \leq \frac{(a+b-c)+(b+c-a)}{2} = b$
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $\sqrt{(a+b-c)(a+c-b)} \leq a$ และ $\sqrt{(c+b-a)(a+c-b)} \leq c$
นำอสมการทั้งสามมาคูณกันจะได้ว่า $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \leq abc............(1)$
พิจารณา $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{a+b-c}{2})(\frac{a-b+c}{2})(\frac{b+c-a}{2})}.............(2)$
จาก $(1),(2)$ จะได้ว่า $\Delta \leq \sqrt{\frac{abc(a+b+c)}{2^4}}=\frac{1}{2^2}\sqrt{abc(a+b+c)} $
$\therefore \sqrt{{\Delta}^3} \leq \frac{1}{2^3}\sqrt[4]{(abc)^3(a+b+c)^3}$
$\therefore 54\sqrt{2}\sqrt{{\Delta}^3} \leq \frac{27\sqrt{2}}{4}\sqrt[4]{(abc)^3(a+b+c)^3}.............(3)$
โดยอสมการโคชีและเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า $1 \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$
ดังนั้น $a+b+c \geq 9.........(4) $
โดยอสมการ$Am-Gm$และเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า $1 \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}$ ดังนั้น $\sqrt[3]{abc} \geq 3 \therefore abc \geq 27.........(5)$
พิจารณา $(a+b+c)^2abc = (abc)^{\frac{3}{4}}(a+b+c)^{\frac{3}{4}}(a+b+c)^{\frac{5}{4}}(abc)^{\frac{1}{4}}$
โดย $(4),(5)$ จะได้ว่า
$(a+b+c)^2abc \geq (abc)^{\frac{3}{4}}(a+b+c)^{\frac{3}{4}}(9^{\frac{5}{4}})(27)^{\frac{1}{4}}.........(6)$
จาก $(6)$ , $(3)$ ,$9^{\frac{5}{4}}(27)^{\frac{1}{4}}>\frac{27\sqrt{2}}{4}$
จะได้ว่า $(a+b+c)^2abc > 54\sqrt{2}\sqrt{{\Delta}^3}............(7)$
จาก $(7),(*)$ จะได้ว่า $LHS > RHS$
|