1.
Lemma 1: $\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)^3\geq\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$
Proof Lemma 1: จาก $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 1$ ได้ว่า
$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq 1$
ดังนั้น เห็นได้ชัดว่า $\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)^3\geq\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$
Proof:
$Rr=(\frac{abc}{4S})(\frac{S}{s})=\frac{abc}{4s}=\frac{abc}{2(a+b+c)}$
จากอสมการ AM-HM ได้ว่า
$Rr=\frac{abc}{2(a+b+c)}\geq\frac{\left(\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)^3}{2(a+b+c)}$
$=(\frac{27}{2})\frac{\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)^3}{(a+b+c)}$
จาก Lemma 1 ได้ว่า
$Rr=(\frac{27}{2})\frac{\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)^3}{(a+b+c)}\geq\ (\frac{27}{2})\frac{\left(\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\right)}{(a+b+c)}=(\frac{27}{2})\frac{abc}{(ab+bc+ca)(a+b +c)}$
แต่จาก $ab+bc+ca\leq\ a^2+b^2+c^2\leq\ (a+b+c)^2$
$\therefore Rr=(\frac{27}{2})\frac{abc}{(ab+bc+ca)(a+b+c)}\geq\ (\frac{27}{2})\frac{abc}{(a+b+c)^3}=(\frac{27}{2})\frac{abc}{8s^3}$
จาก $\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}casinB=S$
$\therefore \frac{1}{8}(abc)^2sinAsinBsinC=S^3$ ดังนั้นจะได้ว่า
$\frac{1}{2\sqrt{2}}(abc)\sqrt{sinAsinBsinC}=S^{\frac{3}{2}}$
พิจารณา $sin2A+sin2B-sin2C$ เมื่อ A,B,C เป็นมุมทั้ง $3$ ของสามเหลี่ยม $ABC$
$sin2A+sin2B-sin2C=sin2A+sin2B-sin(360-2(A+B))=sin2A+sin2B-sin(2(A+B))$
$=2sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)=2sin(A+B)(cos(A-B)-cos(A+B))$
$=2sin(180-(A+B))(2sinAsinB)=4sinAsinBsinC$
ดังนั้น $\frac{sin2A+sin2B-sin2C}{4}=sinAsinBsinC$
จาก $-1\leq sin2A\leq 1,-1\leq sin2B\leq 1,-1\leq -sin2C\leq 1$
$\therefore\frac{sin2A+sin2B-sin2C}{4}\leq\frac{1+1+1}{4}=\frac{3}{4}<1$
$\sqrt{sinAsinBsinC}< 1$
$\therefore S^{\frac{3}{2}}<\frac{1}{2\sqrt{2}}abc$
$\therefore abc>2\sqrt{2}S^{\frac{3}{2}}$
$\therefore Rr=(\frac{27}{2})\frac{abc}{8s^3}> (\frac{27}{16s^3})2\sqrt{2}S^{\frac{3}{2}}=(\frac{27}{8s^3})\sqrt{2}S^{\frac{3}{2}}=(\frac{3}{2s})^3\sqrt{2S^3}$
$QED$