[nooonuii]

กลายเป็นไม่มีคนทำไปเลยครับ เพราะส่วนใหญ่ไปทำในห้องสอบกันมาแล้วทั้งนั้น

ขอเก็บวันแรกก่อนละกันครับ

1.

My Solution :

ใช้ Law of Cosine ได้

$\cos{\theta}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{31}}$

3.

My Solution:

$x=2,5$

5.

My Solution :

ข้อนี้จริงสำหรับพหุนามใดๆที่มีกำลังมากกว่า $1$

สมมติ $P(x)=k(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)$ โดยที่ $a_i$ แตกต่างกันหมด

ให้ $Q(x)=P(x+1)-P(x)-1$ จะได้ว่า

$Q(x)$ เป็นพหุนามที่มีกำลังไม่เกิน $n-1$ แต่มีรากที่แตกต่างกันถึง $n$ รากคือ $a_1,...,a_n$

ดังนั้น $Q(x)\equiv 0$

เราจึงได้สมการเชิงฟังก์ชัน

$P(x+1)=P(x)+1$

สมมติว่า $P(x)=a_nx^n+\cdots + a_1x+a_0, a_n\neq 0$

จะได้สัมประสิทธิ์หน้าเทอม $x^{n-1}$ ของ $P(x+1)$ เป็น

$\displaystyle{a_n\binom{n}{n-1}+a_{n-1}}$

ดังนั้น $\displaystyle{a_n\binom{n}{n-1}+a_{n-1}=a_{n-1}}$

$a_n=0$

ซึ่งขัดแย้ง

ดังนั้น $P(x)$ ต้องมีรากซ้ำ

7.

My Solution:

$(m+n)^2=m^2+n^2+2mn=3789+2mn$

$(m,n)+\dfrac{mn}{(m,n)}=633$

$mn=(m,n)[633-(m,n)]$

ดังนั้น

$(m+n)^2=3789+2(m,n)[633-(m,n)]$

เราจึงได้ว่า $(m,n)\mid 3789=3^2\cdot 421$

แต่ $(m,n)^2\leq mn\leq\dfrac{m^2+n^2}{2}=\dfrac{3789}{2}$

ดังนั้น $(m,n)=1,3,$ หรือ $9$

แทนค่าแล้วตรวจสอบจะพบว่า $(m,n)=3$ และ $m+n=87$

8.

My Solution:

$$2551\cdot 543^n-2008\cdot 7^n\equiv -1\pmod{3}$$
ดังนั้นเป็นกำลังสองสมบูรณ์ไม่ได้

9.

My Solution:

สมมติ $B\subseteq\{1,2,...,n\}$ โดยที่ $n(B)=k,k=0,1,...,n$
เราสามารถเลือกสับเซตของ $B$ ได้ทั้งหมด $2^k$
แต่สับเซตที่มีขนาด $k$ มีอยู่ทั้งหมด $\displaystyle{\binom{n}{k} }$ สับเซต
เราจึงได้ว่ามีจำนวนคู่อันดับ $(A,B)$ ได้ทั้งหมด $$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^k=3^n $$