วันที่สอง ข้อ 4
สังเกตว่า $2008 \equiv -5^2 \pmod {19}$
ดังนั้น
$\begin{array}{rcl} 10\sum_{k = 0}^{n} \left(\ ^{2n+1}_{2k+1} \right)(-2008)^k
&\equiv& 10\sum_{k = 0}^{n} \left(\ ^{2n+1}_{2k+1} \right)5^{2k} \pmod{19} \\
&\equiv& (1+5)^{2n+1}+(1-5)^{2n+1}\pmod{19} \\
&\equiv& 6^{2n+1}+4^{2n+1} \pmod{19}\\
&\equiv& 2^{2n+1}(3^{2n+1}+2^{2n+1}) \pmod {19} \end{array} $
เนื่องจาก $3^{2n+1}+2^{2n+1} \equiv (-16)^{2n+1} + 2^{2n+1} \equiv 2^{2n+1}(1-2^{6n+3})$ และจาก $2^{18}\equiv 1 \pmod {19}$ ทำให้ $2^{6(n+3)+3} \equiv 2^{6n+3} \pmod {19}$ สำหรับทุก $n=0,1,2,...$ จึงเพียงพอที่จะพิจารณาว่า $3^{2n+1}+2^{2n+1}$ หารด้วย $19$ ลงตัวหรือไม่ เมื่อ $n=0,1,2$ เท่านั้น เมื่อตรวจสอบแล้วพบว่า ไม่มีตัวใดที่ทำให้ $19$ หาร $3^{2n+1}+2^{2n+1}$ ลงตัว
ดังนั้น $19 \nmid \sum_{k = 0}^{n} \left(\ ^{2n+1}_{2k+1} \right)(-2008)^k$
ป.ล.ข้อนี้ผมทำผิดไปหน่อยนึงในห้องสอบ...
ก็เลยได้แค่ 3 จาก 7 คะแนนครับ
