เราจะนำจำนวนวิธีหลายๆอย่างที่หามาได้ ช่วยแก้ปัญหา
จำนวนคำตอบในการเลือก a,b,c,d ที่ทำให้ a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d <= 9
ได้อย่างไร ?

หากเรากำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์ คือ การเลือก a,b,c,d ที่ทำให้ a + b + c + d = x โดยที่ a,b,c,d เป็นจำนวนเต็ม และ 0 <= a,b,c,d

A คือเงื่อนไขที่ทำให้ a <= 9
B คือเงื่อนไขที่ทำให้ b <= 9
C คือเงื่อนไขที่ทำให้ c <= 9
D คือเงื่อนไขที่ทำให้ d <= 9

โดยอาศัยหลักการรวมเข้าและหักออก(ลองไปอ่านบทความเรื่องนี้ดูก่อนละกัน) จะได้ว่า
N(ABCD) = N - (N(~A) + N(~B) + N(~C) + N(~D))
+ (N(~A~B) + N(~A~C) + N(~A~D) + N(~B~C) + N(~B~D) + N(~C~D))
- (N(~A~B~C) + N(~A~B~D) + N(~A~C~D) + N(~B~C~D))
+ N(~A~B~C~D)

เนื่องจาก N(~A) = N(~B) = N(~C) = N(~D)
และ N(~A~B) = N(~A~C) = N(~A~D) = N(~B~C) = N(~B~D) = N(~C~D)
และ N(~A~B~C) = N(~A~B~D) = N(~A~C~D) = N(~B~C~D)
ดังนั้นจะได้ว่า
N(ABCD) = N - 4N(~A) + 6N(~A~B) - 4N(~A~B~C) + N(~A~B~C~D)
หรือเขียนเป็นคำพูดออกมาได้ว่า

จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 0 <= a,b,c,d <= 9 คือ
จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 0 <= a,b,c,d
- 4 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a (มาจาก a > 9 นั่นเอง)
+ 6 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a,b (มาจาก a,b > 9 นั่นเอง)
- 4 * จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a,b,c (มาจาก a,b,c > 9 นั่นเอง)
+ จำนวนคำตอบของสมการ a + b + c + d = x โดยที่ 10 <= a,b,c,d (มาจาก a,b,c,d > 9 นั่นเอง)

แทนค่าลงไปจะได้ว่า
= ((x + 3) C 3) - 4((x - 7) C 3) + 6((x - 17) C 3) - 4((x - 27) C 3) + ((x - 37) C 3)
่ถ้าสังเกตให้ดีจะพบว่า เงื่อนไขที่ 10 <= a,b,c,d หรือเงื่อนไขสุดท้ายนี้ ไม่มีทางเกิดขึ้นได้จริง เพราะผลรวมที่มากที่สุดคือ 36 เท่านั้น จึงตัดเทอมนี้ทิ้งไปได้ จึงได้
= ((x + 3) C 3) - 4((x - 7) C 3) + 6((x - 17) C 3) - 4((x - 27) C 3)
อย่างไรก็ตามค่าของ x ในแต่ละช่วง จะมีบางเงื่อนไขที่ไม่มีทางเกิดขึ้นได้จริงเช่นกัน จึงต้องมีการตัดบางเทอมทิ้งไป หรือคิดง่ายๆว่า ถ้า n < r แล้วจะได้ว่า (n C r) = 0

หลังจากแทนค่า x ตั้งแต่ 0 , 1 , 2 , ... , 36 แล้ว จึงได้จำนวนคำตอบของสมการนี้ หรือจำนวนธนบัตรที่มีผลรวมของเลข 4 หลักแรก เป็นเลข 0 , 1 , 2 , ... , 36 ตามลำดับ คือ
1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , 282 , 348 , 415 , 480 , 540 , 592 , 633 , 660 , 670 , 660 , 633 , 592 , 540 , 480 , 415 , 348 , 282 , 220 , 165 , 120 , 84 , 56 , 35 , 20 , 10 , 4 , 1 ตามลำดับ

เป็นอันสิ้นสุด การแก้ปัญหาข้อ 1.1 ข้อที่เหลือก็ไม่มีอะไรยากแล้ว สามารถทำต่อเองได้