หมายเหตุ 1: การแข่งขันในระดับมัธยมสิ้นสุดในวันพุธที่ 21 เวลา 18:15 น.
ส่วนระดับมหาวิทยาลัยและประถม ขอให้อิงเวลาตามกระทู้กฎ กติกา มารยาทครับ
คำตอบใดที่ส่งมาหลังกำหนดในแต่ละระดับจะไม่ได้รับคะแนนครับ
(โจทย์แยกตามผู้เสนอโจทย์)
holmes
1. ABC is a triangle area 1. Take D on BC, E on CA, F on AB, so that AFDE is cyclic. Prove that: area $DEF \le EF^2/(4 AD^2)$.
2. If $2^n - 1 = ab$ and $2^k$ is the highest power of 2 dividing $2^n - 2 + a - b$ then $k$ is even.
Owlpenguin
3. ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน $n(>1)$ จำนวน
ให้ $s=a_1^2+...+a_n^2$ และ $M=min_{1\leq i<k\leq n}(a_i-a_i)^2$
จงพิสูจน์ว่า $\frac{2S}{3M}\geq\frac{n(n-1)(n+1)}{18}$
4. ให้ $a,b$ เป็นจำนวนจริงบวกสองจำนวนโดยที่ $a<b$ จงหา $r$ และ $F(r)$ ในช่วง $[a,b]$ โดยที่
$F(r)=max_{a\leq x\leq b}\left|\frac{r-x}{x}\right|$ มีค่าน้อยที่สุด (พร้อมวิธีคิดและพิสูจน์ด้วย)
ที่มาของทั้งสองข้อ: Green Book of mathematical problems
passer-by
5. กำหนด $ M= \{1,2,\cdots,2550\} $ และ $\min A , \max A $ แทนค่าน้อยสุดและค่ามากสุดของสมาชิกในเซต $A$
สำหรับ $ k \in \{1,2,\cdots 2549\} $ นิยาม $$ x_k = \frac{1}{2551} \bigg (\sum_{A \subset M ; n(A)= k} (\min A + \max A) \, \bigg) $$
หาเศษจากการหาร $\sum_{i=1}^{2549} x_i^2$ ด้วย 2551
ที่มา: modify มาจากข้อสอบข้อหนึ่งในการคัดเลือกตัวแทนโอลิมปิกของสิงคโปร์
dektep
6. ให้ $a,b,c,d \in R^+$ และ $abcd=1$
จงพิสูจน์ว่า$$(\frac{1+ab}{1+a})^{2008}+(\frac{1+bc}{1+b})^{2008}+(\frac{1+cd}{1+c})^{2008}+(\frac{1+da}{1+d})^{2008} \geq 4$$
ที่มา: ดัดแปลงมาจากโจทย์ในค่ายสสวท.
7. ครึ่งวงกลม $\omega$ มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $AB$ และจุดศูนย์กลาง $O$ เส้นตรง $l$ ตัดครึ่งวงกลม $\omega$ ที่จุด $C,D$ และตัด $AB$ ที่ต่อออกไปที่ $M$ $(MB < MA,MD < MC)$ ให้ $K$ เป็นจุดตัดที่สองของวงกลมล้อมรอบ $\Delta{AOC}$ และวงกลมล้อมรอบ $\Delta{DOB}$
ที่มา: Russia 1995
Anonymous314
8. Let $a,b$ and $c$ be positive integers such that $$\frac{a\sqrt{3}+b}{b\sqrt3+c}$$ is a rational number. Show that $$\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$$ is an integer.
ที่มา: CRUX 2008 volume1 ข้อสอบ Finnish High School Math Contest 2004
9. (10th grade) Let $O$ be the centre of the parallelogram $ABCD$, $\angle AOB>\pi /2$. We take the points $A_1,\ B_1$ on the half lines $OA,\ OB$ respectively so that $A_1B_1\parallel AB$ and $\angle A_1B_1C=\angle ABC/2$. Prove That $A_1D\perp B_1C$
ที่มา: CruxV27n7 page 426 Ukrainian Mathematical Olympiad 1999
nooonuii
10. กำหนดให้ $a,b,c,d>0$ โดยที่ $abcd=1$ จงพิสูจน์ว่า $$\Big(a+b+c+d\Big)\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\Big)\leq(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)$$
11. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน $$f(xy^2)+f(x^2y)=y^2f(x)+x^2f(y)$$ ทุก $x,y\in\mathbb{R}$ และ $f(2551)=f(-2551)$
ที่มา: แต่งโจทย์เองทั้งสองข้อ
maphybich
12. กำหนด $x,y,z\in \mathbb{R} ^+$ ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการ
$x^2+xy+y^2=57$
$y^2+yx+x^2=84$
$z^2+zx+x^2=111$
ค่าของ $xy+3yz+5zx$ เป็นเท่าไร
Mathophile
13. จงหาจำนวนรูปแบบทั้งหมดของแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ สำหรับเซต 4 เซตที่ไม่เป็นเซตว่าง
ที่มา: แต่งโจทย์เอง
14. จงหาระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดโฟกัสของกราฟของสมการ $\displaystyle{\frac{x}{y}=\frac{y+1}{x}}$ และ $\displaystyle{\frac{x}{y}=\frac{y}{x+1}}$
Erken
15. จงหาจำนวนคำตอบทั้งหมดที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ $x^5-y^2=4$
ที่มา: Balkan Mathematical Olympiad
16. มีจำนวนอตรรกยะ 6 จำนวน,จงพิสูจน์ว่าจะมีสามจำนวนใน 6 จำนวนนั้นเสมอ สมมติว่าคือ a,b,c ซึ่ง a+b,b+c,c+a เป็นจำนวนอตรรกยะ
ที่มา: จาก Olymon ข้อ 20 ครับ
หยินหยาง
17. กำหนดให้ {$a_n$}${_n}_{\geqslant 0}$ เป็นลำดับของจำนวน โดย $a_0$ = $a_1$ = 5
$a_n$ = $\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{98}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n
จงพิสูจน์ว่า $\frac{a_n+1}{6}$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์สำหรับทุกจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบ
18. กำหนดให้ $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ โดยที่ $f(n)$ คือค่าของจำนวนเต็มบวกที่ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ลำดับที่ n
เช่น $f(1) =2,f(2)=3,f(3)=5,f(4)=6,f(5)=7,f(6)=8,f(7)=10$
จงพิสูจน์ว่า $f(n) = n+${$\sqrt{n}$}
เมื่อ {$x$} หมายถึงจำนวนเต็มที่มีค่าใกล้เคียง x มากที่สุด เช่น {$\sqrt{1}$} $= 1$,{$\sqrt{2}$} $= 1$,{$\sqrt{3}$} $= 2$,{$\sqrt{4}$} $= 2$
โจทย์ที่ได้รับเลือกใช้แข่งขัน คือข้อ 1,5,6,8,11,12,15,16
โจทย์ทั้งสองข้อของคุณ gools ได้รับคัดเลือกไว้ใช้ในรอบถัดไปครับ (ขออุบโจทย์ไว้ก่อน)