[dektep]

ข้อ 16. ครับLemma 1 มีจุด 6 จุดบนระนาบลากเส้นเชื่อมระหว่างสองจุดแล้วทาสีเส้นเชื่อมทุกเส้นด้วยสีสองสีคือแดงกับน้ำเงิน
แล้วจะมีสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ในจุด 6 จุดนี้ที่มีด้านทั้ง 3 เป็นสีเดียวกัน
บทพิสูจน์ สมมติว่าจุด 6 จุดนี้มีชื่อว่า $A,B,C,D,E$ และ $F$ พิจารณาเส้นเชื่อมที่ลากจาก $A$ ไปยัง 5 จุดที่เหลือ ซึ่งมี 5 เส้น ต่อไปพิจารณา 5 เส้นนี้จะต้องทาด้วยสีสองสีดังนั้นโดย Pigeon Hole Principle จะได้ว่ามีเส้นอย่างน้อยสามเส้นที่มีสีเดียวกัน WLOG สามเส้นนี้คือ $AB,AC,AD$ และเป็นสีแดง
สมมติว่าไม่มีสามเหลี่ยมที่ด้านทั้งสามเป็นสีเดียวกัน พิจารณาสามเหลี่ยม $ABC,ACD$ และสามเหลี่ย $ABD$
เพราะว่า $AB,AC$ และ $AD$ เป็นสีแดงจะได้ว่า $BC,CD$ และ $BD$ ต้องเป็นสีน้ำเงินดังนั้นจะเกิดสามเหลี่ยม
$BCD$ ที่มีด้านทั้งสามเป็นสีน้ำเงิน ดังนั้นมีสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นสีเดียวกัน ขัดเเย้งกับข้อสมมติที่ว่า
ไม่มีสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นสีเดียวกัน ดังนั้นเกิดข้อขัดแย้ง
จะไ้ด้ว่ามีสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นสีเดียวกัน #
5.วิธีทำ ให้จำนวนอตรรกยะทั้ง 6 จำนวนนั้นคือ $a,b,c,d,e$ และ $f$ พิจารณาว่าการลากเส้นเชื่อมระหว่างจุดสองจุด
เส้นจะเป็นสีแดงก็ต่อเมื่อผลบวกของสองจุดนั้นเป็นจำนวนอตรรกยะ และจะเป็นสีน้ำเงินก็ต่อเมื่อผลบวกของจุดสองจุดนั้นเป็นจำนวนตรรกยะ
ลากเส้นเชื่อม $a,b,c,d,e$ และ $f$ โดย Lemma 1 จะได้ว่ามีสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นสีแดงหรือสีน้ำเงิน
ถ้ามีสามเหลี่ยมที่ด้านทั้งสามเป็นสีแดงแสดงว่ามีสามจำนวนที่ผลบวกของสองจำนวนใด ๆ ในสามจำนวนเป็นจำนวนอตรรกยะการพิสูจน์จะจบลง ดังนั้นสมมติว่ามีสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นสีน้ำเงิน สมมติว่าจุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมนี้คือ $x,y,z$ โดย $x,y,z$ เป็นสามจำนวนในจำนวนอตรรกยะ 6 จำนวนนั้น
ดังนั้น $x+y,y+z,z+x$ เป็นจำนวนตรรกยะพิจารณา $(x+y)+(y+z)-(z+x) = 2y$
แต่ว่า $(x+y)+(y+z)-(z+x)$ เป็นจำนวนตรรกยะ และ $2y$ เป็นจำนวนอตรรกยะดังนั้น
$(x+y)+(y+z)-(z+x) \not= 2y$
ดังนั้นจะไม่เกิดสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นสีน้ำเงิน เพราะฉะนั้นจะมีสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นสีเเดง
ดังนั้นจะมีสามจำนวนที่ผลบวกของสองจำนวนใด ๆ ในสามจำนวนนี้เป็นจำนวนอตรรกยะ #