[dektep]

ข้อ 1 ครับ
1. วิธีทำ ลาก $AD$ พบวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ ที่ $G$
พิจารณาว่าสี่เหลี่ยม $AEDF$ Concyclic ดังนั้น $\hat{DEF}=\hat{DAF}$
และสี่เหลีี่่่่่ยม $ABGC$ Concyclic ดังนั้น $\hat{BAG}=\hat{BCG}$
และจาก $\hat{DAF}=\hat{BAG}$ (มุมร่วม)
เพราะฉะนั้น $\hat{DEF}=\hat{DAF}=\hat{BAG}=\hat{BCG}.......(1)$
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $\hat{DFE}=\hat{DAE}=\hat{GAC}=\hat{GBC}........(2)$
จาก $(1)$ และ $(2)$ จะได้ว่า $\hat{DEF}=\hat{BCG}$ และ $\hat{DFE}=\hat{GBC}$
ดังนั้น $\Delta{DEF} \sim \Delta{GCB}$
จะได้ว่า $\frac{[\Delta{DEF}]}{[\Delta{GCB}]} = \frac{EF^2}{BC^2}$
ดังนั้น $[\Delta{DEF}] = \frac{EF^2}{BC^2} \cdot [\Delta{GCB}]........(3)$
เนื่องจาก $\Delta{GCB}$ และ $\Delta{ABC}$ มีฐานร่วมกันจะได้ว่า $\frac{[\Delta{GCB}]}{[\Delta{ABC}]}=\frac{GD}{AD}$ แต่ว่า $[\Delta{ABC}]=1$
ดังนั้น $[\Delta{GCB}] = \frac{GD}{AD}........(4)$
จาก $(3)$ และ $(4)$ จะได้ว่า $$[\Delta{DEF}] = \frac{EF^2}{BC^2} \cdot \frac{GD}{AD}
= \frac{EF^2}{4AD^2}(\frac{4AD^2}{BC^2}\cdot \frac{GD}{AD})
=\frac{EF^2}{4AD^2}\cdot (\frac{4AD \cdot GD}{BC^2})
= \frac{EF^2}{4AD^2} \cdot (\frac{4BD\cdot DC}{BC^2})$$ (เพราะว่า $AD \cdot DG = BD \cdot DC$)
โดย Am-Gm จะได้ว่า $BC^2=(BD+DC)^2 \geq (2\sqrt{BD\cdot DC})^2 = 4BD \cdot DC$
จะได้ว่า $$1 \geq \frac{4BD\cdot DC}{BC^2} $$
ดังนั้น $$\frac{EF^2}{4AD^2} \cdot (\frac{4BD\cdot DC}{BC^2}) \leq \frac{EF^2}{4AD^2}$$
ซึ่ง $$[\Delta{DEF}]=\frac{EF^2}{4AD^2} \cdot (\frac{4BD\cdot DC}{BC^2}) $$
ดังนั้น $[\Delta{DEF}] \leq \frac{EF^2}{4AD^2}$ #
หมายเหตุ : $[\Delta{ABC}]$ แทนพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC