[owlpenguin]

ขอข้อสั้นๆ ละกันครับ
ข้อ 6

Solution

ก่อนอื่นจะพิสูจน์ว่า
$\frac{1+ab}{1+a}+\frac{1+bc}{1+b}+\frac{1+cd}{1+c}+\frac{1+da}{1+d}\geq 4$
จาก $\frac{1+ab}{1+a}+\frac{1+bc}{1+b}+\frac{1+cd}{1+c}+\frac{1+da}{1+d}$ แทน $cd=\frac{1}{ab}$ และ $da=\frac{1}{bc}$ ดังนั้นอสมการที่เราจะพิสูจน์สมมูลกับ
$\frac{1+ab}{1+a}+\frac{1+bc}{1+b}+\frac{1+ab}{ab+abc}+\frac{1+bc}{bc+bcd}\geq 4$
$\leftrightarrow (1+ab)\left(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{ab+abc}\right)+(1+bc)\left(\frac{1}{1+b}+\frac{1}{bc+bcd}\right)\geq 4$

จาก AM-HM Inequality
$\frac{\frac{1}{1+a}+\frac{1}{ab+abc}}{2}\geq\frac{2}{(1+a)+(ab+abc)}$
$\therefore\frac{1}{1+a}+\frac{1}{ab+abc}\geq\frac{4}{(1+a)+(ab+abc)}$
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า
$\frac{1}{1+b}+\frac{1}{bc+bcd}\geq\frac{4}{(1+b)+(bc+bcd)}$

$\therefore (1+ab)\left(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{ab+abc}\right)+(1+bc)\left(\frac{1}{1+b}+\frac{1}{bc+bcd}\right)\geq \frac{4(1+ab)}{1+a+ab+abc}+\frac{4(1+bc)}{1+b+bc+bcd}$
$=4\left(\frac{1+ab}{1+a+ab+abc}+\frac{1+bc}{1+b+bc+bcd}\right)=4\left(\frac{1+ab}{1+a+ab+abc}+\frac{a+abc}{a+ab+abc+abcd}\right )$
$=4\left(\frac{1+ab}{1+a+ab+abc}+\frac{a+abc}{1+a+ab+abc}\right)=4\left(\frac{1+ab+a+abc}{1+a+ab+abc}\right)=4$

$\therefore\frac{1+ab}{1+a}+\frac{1+bc}{1+b}+\frac{1+cd}{1+c}+\frac{1+da}{1+d}\geq 4$ ตามต้องการ

จาก Power-Mean Inequality ได้ว่า
$\sqrt[2008]{\frac{(\frac{1+ab}{1+a})^{2008}+(\frac{1+bc}{1+b})^{2008}+(\frac{1+cd}{1+c})^{2008}+(\frac{1+da}{1+d})^{2008}}{4}}$
$\geq\frac{\frac{1+ab}{1+a}+\frac{1+bc}{1+b}+\frac{1+cd}{1+c}+\frac{1+da}{1+d}}{4}\geq 1$
$\therefore\frac{\left(\frac{1+ab}{1+a}\right)^{2008}+\left(\frac{1+bc}{1+b}\right)^{2008}+\left(\frac{1+cd}{1+c}\right)^{2008}+ \left(\frac{1+da}{1+d}\right)^{2008}}{4}\geq (1)^{2008}=1$
$\therefore\left(\frac{1+ab}{1+a}\right)^{2008}+\left(\frac{1+bc}{1+b}\right)^{2008}+\left(\frac{1+cd}{1+c}\right)^{2008}+\left( \frac{1+da}{1+d}\right)^{2008}\geq 4$ ตามต้องการ
ซึ่งอสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $\frac{1+ab}{1+a}=\frac{1+bc}{1+b}=\frac{1+cd}{1+c}=\frac{1+da}{1+d}$
จะได้ว่า
$4\left(\frac{1+ab}{1+a}\right)=4\rightarrow \frac{1+ab}{1+a}=1\rightarrow 1+ab=1+a\rightarrow a(b-1)=0$
ดังนั้นจะได้ว่า $b=1$ เพราะว่า $a>0$
ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า $a=b=c=d=1$

สรุป $\left(\frac{1+ab}{1+a}\right)^{2008}+\left(\frac{1+bc}{1+b}\right)^{2008}+\left(\frac{1+cd}{1+c}\right)^{2008}+\left(\frac{1+da }{1+d}\right)^{2008}\geq 4$ และจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $a=b=c=d=1$

ข้อ 15

Solution

พิจารณา $x^5$ ใน $\pmod{11}$
จะได้ว่า $\bmatrix{x\equiv & 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\pmod{11} \\ \therefore x^5\equiv & 0&1&10&1&1&1&10&10&10&1&10\pmod{11}}$
(เป็นตารางนะครับ พอดีหาที่สร้างตารางไม่ได้ ต้องขออภับมา ณ ที่นี้ด้วยครับ)

ต่อไป พิจารณา $y^2+4$ ใน $\pmod{11}$
จะได้ว่า $\bmatrix{y\equiv & 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\pmod{11} \\ \therefore y^2+4\equiv & 4&5&8&2&9&7&7&9&2&8&5\pmod{11}}$

สรุปจาก 2 ตาราง ได้ว่า $x^5\equiv 0,1,10\pmod{11}$ และ $y^2+4\equiv 2,4,5,7,8,9\pmod{11}$
ซึ่งจะได้ทันทีว่า $x^5-y^2-4\not\equiv 0\pmod{11}$