(โจทย์แยกตามผู้เสนอโจทย์)
ข้อที่ใช้แข่งขัน ข้อ 1,2,3,6,7,10,12,13
โจทย์ระดับโอลิมปิกของคุณ Mathophile 1 ข้อได้รับเลือกไปใช้ในครั้งถัดไปครับ
Top
1. ศาสตราจารย์สติเฟื่องท่านหนึ่ง เดินขึ้นบันไดเลื่อนในห้างพันธุ์ทิพย์ ด้วยความเร็วคงที่ 1 ขั้นบันไดเลื่อนต่อวินาที เมื่อท่านเดินถึงบันไดเลื่อนชั้นบนสุด ก็นึกขึ้นได้ว่าลืมบัตร ATM ที่เพิ่งเบิกเงินสดไว้ในตู้ ATM ชั้นล่าง บังเอิญช่วงเวลานั้น ยังไม่มีใครขึ้นบันไดเลื่อน ท่านจึงตัดสินใจวิ่งย้อนลงบันไดเลื่อน ด้วยความเร็วคงที่ 3 ขั้นบันไดเลื่อนต่อวินาที เมื่อท่านเก็บบัตร ATM ได้แล้ว ก็เกิดอาการสนุกลองเดินขึ้น และวิ่งลงบันไดเลื่อนแบบเดิมอีกครั้ง แต่คราวนี้ท่านสังเกตว่า ในขาขึ้นท่านเดินผ่านขั้นบันไดเลื่อน 18 ขั้น และในขาลงท่านวิ่งผ่านขั้นบันไดเลื่อน 90 ขั้น อยากทราบว่า ณ เวลาหนึ่ง เรามองเห็นขั้นบันไดเลื่อนกี่ขั้น ?
ที่มา: Problem Solving Through Recreational Mathematics
2. O N E T W X เป็นเลขโดดที่แตกต่างกันทั้งหมด จงหาเลขฐานทั้งหมดซึ่งทำให้ การบวกต่อไปนี้มีผลเฉลยเพียงหนึ่งเดียว
\[\begin{array}{c}
\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{O} & \rm{N} & \rm{E} & _+ \end{array} \\
\underline{\begin{array}{rrrrr}\quad & \rm{T} & \rm{W} & \rm{O} & \;\;\end{array}} \\
\underline{\underline{\begin{array}{rrrrr}\rm{N} & \rm{E} & \rm{X} & \rm{T} & \;\end{array}}}
\end{array}\]
ที่มา: Problem Solving Through Recreational Mathematics
passer-by
3. $ A , B $ เป็นจุดบนวงกลม โดยมีพิกัด $ (-16,-9) $ และ $ (20 ,18)$ ตามลำดับ
$C$ เป็นจุดบน $AB$ โดย $ AC : CB = 4 :5 $
ถ้า $ D, E $ เป็นจุดบนวงกลมโดย $ DC > CE $ และ $D, C, E $ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน หาระยะ $ DC $ เมื่อ $ DC^2+ CE^2 = 5000 $
4. สำหรับสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC
พิสูจน์ว่า $ 2\cos A \cos B \cos C \geq \cos A \cos B +\cos B \cos C+ \cos A \cos C - \frac{1}{2}$
nooonuii
5. จงหาจำนวนเต็มบวก $a< b< c$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ $$2^a+2^b+2^c=33554466$$
(แต่งโจทย์เอง)
6. จงหาจำนวนจริง $x,y$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ
$$\displaystyle{x=\sqrt{x+2\sqrt{y+2\sqrt{x+2y}}}}$$
$$\displaystyle{y=\sqrt{y+2\sqrt{x+2\sqrt{y+2x}}}}$$
(แต่งโจทย์เอง)
Mathophile
7. จงบอกวิธีสร้าง (พร้อมพิสูจน์) วงกลมที่มีพื้นที่เป็น 1 ใน 3 ของวงกลมที่กำหนดให้ โดยใช้เพียงวงเวียนและสันตรง
Aorn
8. จำนวนเชิงซ้อน $z=1-\frac{\sqrt3}{2}i$ จงหาค่าของ $z^5$ และตำแหน่งของ $z^5$ ในระบบพิกัดฉาก
ที่มา:
http://www.thai-mathpaper.net/papers_offline.php
Gon
9. จงพิสูจน์ว่า $\sin \frac{2\pi}{15} + \sin \frac{4\pi}{15} + \sin \frac{8\pi}{15} + \sin \frac{16\pi}{15} = \frac{\sqrt{15}}{2}$
Heir of Ramanujan
10. กำหนดให้ $\log_{10} 2 \approx 0.3010, \log_{10} 3 \approx 0.4771, \log_{10} 5 \approx 0.6990$ และ $\log_{10} 7 \approx 0.8451$
จงหาค่าของเลขโดดหลักซ้ายมือสุดของ $5^{200}$ เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน $10$
ที่มา:
http://www.artofproblemsolving.com/F...c.php?t=198870
หยินหยาง
11. กำหนดสมการ $log_x36 +log_{18}(3x) = 3$ จงหาค่าของ $x$ ที่สอดคล้องกับสมการที่กำหนดให้
12. จากรูป จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม PQRS โดยที่สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมมุมฉากและมีความยาวแต่ละด้านดังรูป โดยมีหน่วยเป็นเซนติเมตร
Timestopper_STG
13. จงหาค่าของ $\displaystyle{\cos^{2}71^{o}+\cos^{2}79^{o}+\sqrt{3}\cos 71^{o}\cos 79^{o}}$
แนวคิดในการแต่งโจทย์มาจากกระทู้
http://www.vcharkarn.com/vcafe/142502 ข้อ 55
14. กำหนดให้โลกใช้เวลาในการโคจรรอบดวงอาทิตย์ 365 วันและดาวพุธโคจรรอบดวงอาทิตย์ใช้เวลา 88 วัน
ถามว่าดวงอาทิตย์ ดาวพุธ และ โลกจะอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันทุก ๆ กี่วัน(ตอบเป็นจำนวนเต็ม)
(ให้ประมาณว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์เป็นวงกลมแทนที่จะเป็นวงรี)