แยกตามผู้เสนอโจทย์
M@gpie
1. จงหาค่าของ $\max \{\pi^e, e^\pi\}$
2. จงหาฟังก์ชันต่อเนื่อง $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
\[ f(x) = \lambda (1+x^2)\left( 1+ \int_0^x \frac{f(t)}{1+t^2}dt\right)\]
สำหรับทุก $x\in \mathbb{R}$ ในที่นี้ให้ $\lambda$ เป็นจำนวนจริงที่มีค่าคงตัว
mercedesbenz
3. จงพิสูจน์ว่า $\sum_{k=1}^{\infty}ke^{-k^2}$ ลู่เข้า และหาค่าประมาณของผลบวกโดยให้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 3
ที่มา : เอกสารประกอบการเรียนวิชา Advanced Calculus II ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลับขอนแก่น
nooonuii
4. สำหรับจำนวนนับ $n\geq 3$ จงพิสูจน์ว่า $$(1+2+\cdots + n)^{1+2+\cdots+(n-1)}<(1+2+\cdots+(n-1))^{1+2+\cdots+n}$$
5. ให้ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ จงพิสูจน์ว่า
ถ้า $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f(x)=A>0}$ แล้ว $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}f'(x)=0}$
passer-by
6. กำหนด $ f $ มีอนุพันธ์ทุกอันดับ สำหรับทุกจำนวนจริง $ x $ และสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
(1) $ f(0) = 1 , f’(0) = -1 $
(2) $ f^{(n)}(0) \leq \frac{1}{n^2-n} \,\, \forall n \geq 2 $
พิสูจน์ว่า มีจำนวนจริง $ c \in (0,1) $ ซึ่ง $ f^{''}( c) < \frac{1}{2c} $
ข้อที่ใช้แข่งขัน คือข้อ 1,2,5,6