1.
พิจารณา $f(x)=\frac{x}{ln(x)}$ จะพบว่าจุดต่ำสุดเมื่อ $x>1$ เกิดขึ้นที่ $x=e$
$\therefore\frac{e}{ln(e)}<\frac{\pi}{ln(\pi)}$
$eln(\pi)<\pi$
$ln(\pi^e)<\pi$
$\therefore\pi^e<e^\pi$
2.
$\frac{f(x)}{1+x^2}=\lambda\left( 1+ \int_0^x \frac{f(t)}{1+t^2}dt\right)$
ให้ $g(x)=\frac{f(x)}{1+x^2}$
$\therefore g(x)=\lambda\left(1+\int_0^x g(t)dt\right)$
ดิฟทั้งสองข้าง ได้ว่า
$g'(x)=\lambda g(x)$
$\therefore g(x)=Ae^{\lambda x}\rightarrow f(x)=Ae^{\lambda x}(1+x^2)$
เอาไปแทนในสมการโจทย์จะได้ $A=\lambda$
$\therefore f(x)=\lambda e^{\lambda x}(1+x^2)$