จาเปิดเทอมแล้วคับ คงไม่ค่อยได้เข้ามาเล่นแล้ว เฉลยเลยละกัน
เราต้องการแสดงว่า $\det A\not\equiv 0\pmod{n}$ โดย n เป็นจำนวนนับอะไรก็ได้ซักตัวนึง ที่น้อยที่สุดหรือง่ายต่อการพิจาณามากที่สุด
ดูสมาชิกแถวที่ 4 ของ A จะเห็นว่า
$2549!\equiv 2551!\equiv 2553!\equiv 2555!\equiv 0\pmod{2,3,4,...,2549}$
ดังนั้น $\det \bmatrix{1 & -3 & 2 & (2549!)^7 \\ 4 & -1 & 2 & (2549!)^5 \\ 3 & 5 & 2 & (2549!)^3 \\ 2555! & 2553! & 2551! & 2549!}\equiv \det\bmatrix{1 & -3 & 2 & (2549!)^7 \\ 4 & -1 & 2 & (2549!)^5 \\ 3 & 5 & 2 & (2549!)^3 \\ 0 & 0 & 0 & 0}=0\pmod{2,3,4,...,2549}$
ดังนั้น หากเลือก $1<n\leqslant 2549$ จะเห็นว่า $\det A\equiv 0\pmod{n}$ ซึ่งไม่ได้ช่วยเราพิสูจน์ว่า $\det A\not=0$ ดังนั้น เราต้องเลือก $n>2549$
ในที่สุด เมื่อเราเลือกพิจารณา มอดุโล 2551 เราจะพบว่า
$2555!\equiv 2553!\equiv 2551!\equiv 0\pmod{2551}$
และโดย Wilson's, $2550(2549!)=2550!\equiv -1\equiv 2550\pmod{2551}\Rightarrow 2549!\equiv 1\pmod{2551}$
ดังนั้น $\det \bmatrix{1 & -3 & 2 & (2549!)^7 \\ 4 & -1 & 2 & (2549!)^5 \\ 3 & 5 & 2 & (2549!)^3 \\ 2555! & 2553! & 2551! & 2549!}\equiv \det\bmatrix{1 & -3 & 2 & (2549!)^7 \\ 4 & -1 & 2 & (2549!)^5 \\ 3 & 5 & 2 & (2549!)^3 \\ 0 & 0 & 0 & 1}$
$=a_{41}C_{41}+a_{42}C_{42}+a_{43}C_{43}+a_{44}C_{44}=C_{44}$
$=\det\bmatrix{1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 2}=40\not\equiv 0\pmod{2551}$
ดังนั้น $\det A=2551k+40, \exists k\in\mathbb{Z}$ เพราะฉะนั้น $\det A$ ไม่มีทาง เป็น 0 ###