[dektep]

12.

solution

วิธีทำ
กำหนดระบบสมการดังนี้ $x^2+xy+y^2 = 57................(1)$
$~~~~~~~~~~~~~~y^2+yz+z^2 = 84................(2)$
$~~~~~~~~~~~~~~z^2+xz+x^2 = 111...............(3)$
$(2)-(1) ; 27 = z^2-x^2+yz-xy = (z-x)(z+x)+y(z-x) = (z-x)(x+y+z)........(4) $
$(3)-(2) ; 27 = x^2-y^2+xz-yz = (x-y)(x+y)+z(x-y) = (x-y)(x+y+z)........(5)$
จาก $(4)$และ$(5)$ จะได้ว่า $(z-x)(x+y+z)=(x-y)(x+y+z)$
ดังนั้น $y+z=2x \rightarrow x+y+z=3x..........(*)$
แทนลงใน $(4)$ และ $(5)$
จะไ้ด้ว่า $\frac{9}{x} = z-x$ และ $\frac{9}{x} = x-y$
ดังนั้น $z = x+\frac{9}{x}$ และ $y = x-\frac{9}{x}$
นำไปแทนในสมการ $(2) ; (y+z)^2-yz = 84 \therefore 4x^2-(x^2-\frac{81}{x^2}) = 84$
ดังนั้น $x^2-\frac{27}{x^2} = 28$
จะได้ว่า $(x^2-27)(x^2-1) = 0$
ดังนั้น $x= 3\sqrt{3},1$ เพราะ $x,y,z \in \mathbb{R}^+$
นำไปแทนค่ากลับได้
$(x,y,z) = (1,10,-8),(3\sqrt{3},2\sqrt{3},4\sqrt{3})$
ซึ่งคำตอบ $(1,10,-8)$ ใช้ไม่ได้ $(-8 < 0)$
ดังนั้นมีคำตอบเดียวคือ $(3\sqrt{3},2\sqrt{3},4\sqrt{3})$
ดังนั้น $xy+3yz+5zx = 270$ #

15.

solution

วิธีทำ พิจารณา $modulo 11$
Lemma2 $x^5 \equiv \pm 1,0 (mod 11)$
Proof $Case I : 11 | x$ ดังนั้น $x^5 \equiv 0 (mod 11)$
$Case II : 11 \nmid x$ โดย Fermat's Little Theorem จะได้ว่า $x^{10} \equiv 1 (mod 11)$
ดังนั้น $(x^5)^2 \equiv 1 (mod 11) \therefore x^5 \equiv \pm 1(mod 11)$
จากทั้งสองกรณีจะได้ว่า $x^5 \equiv \pm 1,0 (mod 11)$
จาก Lemma2 จะได้ว่า $x^5 \equiv \pm 1,0 (mod 11)$
ดังนั้น $x^5-4 \equiv 6,7,8 (mod 11).........(1)$
แต่ว่า $x^5-4 = y^2..........(*)$
พิจารณาว่า $y^2 \equiv 0,1,3,4,5,9 (mod 11)..........(2)$ $\forall y \in \mathbb{Z}$
จาก $(1),(2)$ และ $(*)$ จะได้ว่าสมการ $x^5-4 = y^2$ ไม่มีคำตอบทุก ๆ $y \in \mathbb{Z}$ #

11.

solution

วิธีทำ
$f(x^2y)+f(xy^2) = y^2f(x)+x^2f(y)..........(*)$
แืทน $y=1$ ใน $(*)$
จะได้ว่า $f(x)+f(x^2)=f(x)+x^2f(1)$
ดังนั้น $f(x^2) = x^2f(1)....(1)$
$x=1,y=0$ จะได้ว่า $f(0)=0....(2)$
จาก $(1),(2)$ จะได้ว่า $f(a) = af(1),\forall a \in \mathbb{R}^+ \cup 0........(*)$
ในทำนองเดียวกัน
แืืทน $y=-1$ ใน $(*)$
จะได้ว่า $f(x)+f(-x^2)=f(x)+x^2f(-1)$
ดังนั้น $f(-x^2)=-x^2(-f(-1)).....(3)$
จาก $(2),(3)$ จะได้ว่า $f(a)=a(-f(-1)) ,\forall a \in \mathbb{R}^- \cup 0........(@)$
ดังนั้น $f(2551) = 2551f(1)$ และ $f(-2551)=2551f(-1)$
แต่ว่า $f(2551)=f(-2551)$
ดังนั้น $f(1)=f(-1).......(4)$
จาก $(4),(*)$ และ $(@)$ จะได้ว่า $f(a) = af(1) , \forall a \geq 0$
และ $f(a) = -af(1) , \forall a \leq 0$
ดังนั้น $f(x) =c|x|,\forall x \in R$ และ c เป็นค่าคงที่ #

5.

solution

วิธีทำ ขั้นแรกจะหาค่า $x_k$ ก่อน
พิจารณา $|A|=k $
เพราะว่า $$\sum_{A \subset M;|A|=k}(Min A+Max A)=\sum_{A \subset M;|A|=k}(Min A)+\sum_{A \subset M;|A|=k}(Max A)$$
พิจารณา $$M_k=\sum_{A \subset M;|A|=k}(Min A)$$
Case 1 $Min A = 1$
พิจารณาว่าถ้า $Min A = 1$ ; แสดงว่าใน $1 \in A$ และจำนวน $k-1$ จำนวนที่เหลือใน $A$ จะต้องอยู่ในเซต $\left\{\,\right. 2,3,...,2550\left.\,\right\}$ (คือจำนวนที่มากกว่า $1$ ทั้งหมด)
ดังนั้น $$\sum_{A \subset M;|A|=k}=1\cdot \binom{2549}{k-1}$$
(เพราะว่ามี $Min(A)=1$ อยู่ $\binom{2549}{k-1}$ ตัว)
Case2 $Min A = 2$
ถ้า $Min A = 2$ ; แสดงว่ามี $2 \in A$ และจำนวน $k-1$ จำนวนที่เหลือใน $A$ จะต้องอยู่ในเซต $\left\{\,\right. 3,4,..,2550\left.\,\right\} $ (คือจำนวนที่มากกว่า $2$ ทั้งหมด)
ดังนั้น $$\sum_{A \subset M;|A|=k} = 2\cdot \binom{2548}{k-1}$$
(เพราะว่ามี $Min(A)=2$ อยู่ $\binom{2548}{k-1}$ ตัว )
...
Case 2551-k $Min A = 2551-k$
พิจารณากรณีที่ $Min(A)= 2549$ จะได้ว่า $$\sum_{A \subset M;|A|=k}(Min A)=(2551-k) \cdot \binom{k-1}{k-1}$$
นำแต่ละ Case มาบวกกัน
$$\therefore M_k=\sum_{A \subset M;|A|=k}(Min A)= 1\binom{2549}{k-1} +2\binom{2548}{k-1}+3\binom{2547}{k-1}+...+(2551-k)\binom{k-1}{k-1}$$
ในทำนองเดียวกับการหา $M_k$ จะได้ว่า $$N_k=\sum_{A \subset M;|A|=k}(Max A)= 2550\binom{2549}{k-1}
+2549\binom{2548}{k-1}+...+(k)\binom{k-1}{k-1}$$
ดังนั้น $$2551x_k=\sum_{A \subset M;|A|=k}(Min A)+\sum_{A \subset M;|A|=k}(Max A) = 2551\binom{2549}{k-1}+2551\binom{2548}{k-1}+...+2551\binom{k-1}{k-1}$$
$$=2551(\binom{2549}{k-1}+\binom{2548}{k-1}+...+\binom{k-1}{k-1})$$
ดังนั้น $$x_k = \binom{2549}{k-1}+\binom{2548}{k-1}+...+\binom{k-1}{k-1}
= \binom{2550}{k}$$(Pascal Identity)
ดังนั้น $$\sum_{k=1}^{2549}{x_{k}}^2 = \binom{2550}{0}^2+\binom{2550}{1}^2+...+\binom{2550}{2550}^2-2.........(*)$$
ต่อไปจะพิสูจน์ว่า $\binom{2n}{n} = \binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+...+\binom{n}{n}^2$
พิจารณาชาย $n$ คนหญิง $n$ คนเลือกมา $n$ คนได้
นับแบบที่ $1$ ได้ $\binom{2n}{n}$
นับแบบที่สองโดยการเเบ่ง $case$ มีชาย $0$ หญิง $n$ ,ชาย $1$ หญิง $n-1$,...,ชาย $n$ หญิง $0$
ซึ่งได้ $$\binom{n}{0}\binom{n}{n}+\binom{n}{1}\binom{n}{n-1}+...+\binom{n}{n}\binom{n}{0}
=\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+...+\binom{n}{n}^2$$
แต่การนับทั้งสองวิธีต้องเท่ากันดังนั้น $$\binom{2n}{n} = \binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+...+\binom{n}{n}^2......(1)$$
จาก $(*)$ และ $(1)$ จะได้ว่า $$\sum_{k=1}^{2549}{x_{k}}^2 = \binom{5100}{2550}-2$$
แต่ว่า $2551 | \binom{5100}{2550}$
ดังนั้น $$\sum_{k=1}^{2549}{x_{k}}^2 \equiv -2 (mod 2551) \equiv 2549 (mod 2551)$$
ดังนั้นเศษคือ 2549 #