ข้อ 1 จาก $a+\frac{1}{a}=3$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างครับได้
$a^2+2 +\frac{1}{a^2}=9$ (กำลังสองสัมบูรณ์)
ได้$a^2+\frac{1}{a^2}=7$
+(-2)ทั้งสองข้างของสมการได้
$a^2-2+\frac{1}{a^2}=7-2$
$(a-\frac{1}{a})^2=5$
ดังนั้นได้ $a-\frac{1}{a}=\sqrt{5}$
ข้อ 2
จากโจทย์ กำหนด $a^x-a^{-x}=2$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้
$a^{2x}-2(1)+a^{-2x}=4$ (กำลังสองสัมบูรณ์)
=$a^{2x}+a^{-2x}=6$
ข้อ 3
$3^{2x}=4^y=6^{-2z}$
สมมุติให้มันเท่ากับ k ครับ
$3^{2x}=4^y=6^{-2z}=k$
จะได้$3^{2x}=k$ได้ $3^2=k^{\frac{1}{x}}$________(1)
$4^y=k$จะได้ $4=k^{\frac{1}{y}}$___________(2)
$6^{-2z}=k$ได้ $6^{-2}=k^{\frac{1}{z}}$________(3)
นำ(1)x(2)x(3)
ได้ $1=k^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$
ดังนั้น $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$
ข้อ 5
สมมุติให้ $2x=3y=4z=k$
จากโจทย์ $\sqrt[3]{8x^2+27y^2+64z^2}$
ลองสังเกตตามนะครับ
จะได้ว่า $\sqrt[3]{8x^2+27y^2+64z^2}$=$\sqrt[3]{\frac{(2x)^3}{x}+\frac{(3y)^3}{y}+\frac{(4z)^3}{z}}$_______(1)
จาก$2x=3y=4z=k$ แทนใน(1)ได้
=$\sqrt[3]{\frac{k^3}{x}+\frac{k^3}{y}+\frac{k^3}{z}}$
=$\sqrt[3]{k^3[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}]}$
จากโจทย์ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$ได้
$\sqrt[3]{k^3[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}]}$=$\sqrt[3]{k^3}$
$=k$
ทีนี้เราก็ต้องมาหาค่า k กันหล่ะครับ
จากที่เราสมมุติ $2x=3y=4z=k$
จาก $2x=k$ จะได้ $2=\frac{k}{x}$_______(1)
จาก$3y=k$ จะได้ $3=\frac{k}{y}$_______(2)
จาก$4z=k$ จะได้ $4=\frac{k}{z}$________(3)
(1)+(2)+(3) ได้ $2+3+4=\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}$
$9=k[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}]$ จาก $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$
ดังนั้น ได้ $k=9$ ANSWER
