145.True ครับ
เพราะว่า $|\sin t|$ มีคาบคือ $\pi$ เราให้ $t=x+\pi$ โดยที่ $x \in [2k\pi ,(2k + 1)\pi ]$ $k$ เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ว่า $\int\limits_0^x {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$ คือการหาพ.ท.ใต้กราฟ ${{{\sin t} \over {1 + t}}}$
เพราะว่า $\left. {\left| {{{\sin x} \over {1 + x}}} \right.} \right| = \left. {\left| {{{\sin (x + \pi )} \over {1 + x}}} \right.} \right| \ge \left| {\left. {{{\sin (x + \pi )} \over {1 + x + \pi }}} \right|} \right.$
ดังนั้น $\int\limits_{2k\pi }^{(2k + 1)\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge -\int\limits_{(2k + 1)\pi }^s {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$...(1)
โดยที่ $s \in [(2k + 1)\pi ,(2k + 2)\pi ]$
เมื่อนำ (1) มารวมกันให้หมดได้ว่า $\int\limits_0^\pi {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge - \int\limits_\pi ^{2\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$
$\int\limits_{2\pi }^{3\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge - \int\limits_{3\pi }^{4\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$
ไปเรื่อย ๆ ถึง
$\int\limits_{2k\pi }^{(2k + 1)\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge - \int\limits_{(2k + 1)\pi }^s {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt$
หรือ $\int\limits_{2k\pi }^{(2k + 1)\pi } {{{\sin t} \over {1 + t}}} dt \ge 0 $
ได้ว่า $\int\limits_0^x {{{\sin t} \over {1 + t}}dt} $ เมื่อ $x>0$
