อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Punk
Sorry couldn't type in Thai. I've gotten this (nice) problem from my friend. Anybody has ever seen a proof for it? 
Let $H$ be a Hilbert space (over $\mathbb{C}$) and $K\subset H$ a closed convex subset. If $P:H\to K$ is the projection map, prove that $\|Px-Py\|\leq\|x-y\|$ for all $x,y\in H$.
(This is, of course, not a cal problem, but I don't want to post a new topic.  ) |
ไม่แน่ใจว่าถูกมั้ยครับ เำพราะเพิ่งขุด Functional Analysis มาอ่านวันนี้นี่เอง
ผมเข้าใจว่า $P$ คือ orthogonal projection on $K$
ดังนั้น $P=P^{*}=P^2$ นั่นคือ $P$ เป็น self-adjoint operator
เราจึงได้ $\|P\|=\|P^2\|=\|P\|^2$
ดังนั้น $\|P\|=0$ หรือ $1$
สุดท้ายจะได้ว่า $\|Px-Py\|=\|P(x-y)\|\leq\|P\|\|x-y\|\leq \|x-y\|$ ทุก $x,y\in H$
ป.ล. ทำไมผมไม่ได้ใช้ convexity ของ $K$ เลย
