[owlpenguin]

จาก $\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C$ ให้ $\tan A=x,\tan B=y,\tan C=z$
$\therefore xyz=x+y+z;x,y,z\in\mathbb{N}$ และให้ $x\geq y\geq z$
ถ้า $x\geq y\geq z\geq 2$ จะได้
$3x\geq x+y+z=xyz\geq 2xy$
$x(3-2y)\geq 0$
แต่ $x>0$ $\therefore y\leq\frac{3}{2}<2$ เกิดข้อขัดแย้ง
$\therefore z=1$
$\therefore xy=x+y+1$
$(x-1)(y-1)=2$
$\therefore x=3,y=2,z=1$

$\therefore\tan A\tan B+\tan B\tan C+\tan C\tan A=(3)(2)+(2)(1)+(1)(3)=11$