อันนี้เป็นวิธีของคุณ Timestopper ครับ
วิธีทำ :
เนื่องจาก $f$ มีอนุพันธ์ทุกอันดับ สำหรับทุกจำนวนจริง ดังนั้นจะได้ว่า $\displaystyle{f\in C^{\infty}}$ ทำให้ได้ว่า
$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)x^{k}}{k!}=1-x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)x^{k}}{k!}\rightarrow f'(x)=-1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{f^{(k+1)}(0)x^{k}}{k!}$$
$$f'\left(\frac{1}{2}\right)\leq -1+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\frac{1}{k(k+1)k!}$$
ให้ $\displaystyle{a_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\frac{1}{n(n+1)!}}$ จะได้ว่า $\displaystyle{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n}{2(n+1)(n+2)}<\frac{1}{6}}$ ทำให้ได้ว่า
$$f'\left(\frac{1}{2}\right)\leq\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}<-1+\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{6}\right)^{k}=-\frac{7}{10}$$
จากทฤษฎีบทค่ามัชฌิมจะได้ว่ามี $\displaystyle{c\in\left(0,\frac{1}{2}\right)}$ ที่ $\displaystyle{f''(c)=\frac{f'\left(\frac{1}{2}\right)-f'(0)}{\left(\frac{1}{2}\right)-0}=\frac{3}{5}}$
และ $\displaystyle{\frac{1}{2c}>1>\frac{3}{5},\forall c\in\left(0,\frac{1}{2}\right)}$
ดังนั้นจึงได้ว่ามี $c$ ที่มีคุณสมบัติตามที่โจทย์ต้องการ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
|