[nooonuii]

ข้อ $1-6,8$ ทำโดยใช้แนวคิดเดียวกัน

ถ้า $z=x+iy$ จะได้ $z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ เมื่อ

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\theta=\arctan{(\frac{y}{x})}$

ส่วนนี้เป็นแค่ความรู้ม.ปลายครับ
ที่เพิ่มมาคือนิยามของ

$Log(z)=\ln{r}+i\theta$

เช่น $z=ei=e(\cos{\frac{\pi}{2}}+i\sin{\frac{\pi}{2}})$

$Log(z)=\ln{e}+i\frac{\pi}{2}=i\frac{\pi}{2}$

7. ให้ $w=z-i$

เราทราบว่า $Log(w)$ ไม่ analytic บนรังสี $x+0i,x\leq 0$ นั่นคือเมื่อ

$w=x+0i,x\leq 0$

$z-i=x+0i,x\leq 0$

$z=x+i,x\leq 0$

8. ถ้า $z=x+yi$ ได้ Re$(log(z-1))=\ln|z-1|=?!!!? ,z\neq 1$
ฟังก์ชันนี้สอดคล้องสมการ Laplace เำพราะมันคือส่วนจริงของ analytic function
ใช้ทฤษฎีเดียวกับข้อ 9