ข้อ 2
A.ผม homogenize ไปเลย แทน $x=\frac{a}{b} y=\frac{b}{c} z=\frac{c}{a}$
อสมการที่ต้องพิสูจน์คือ
$\sum_.\frac{a^2}{(a-b)^2}\geqslant 1$
ให้
$p=\frac{a}{a-b}$
$q=\frac{b}{b-c}$
$r=\frac{c}{c-a}$
เราจะต้องพิสูจน์ว่า $p^2+q^2+r^2\geqslant 1$
แต่เห็นได้ว่า
$pqr=(p-1)(q-1)(r-1)$
ได้ว่า $\sum pq +1= \sum p$
ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ว่า
$(\sum pq)^2+2\sum pq +1=\sum p^2 +2\sum pq$
ดังนั้น $p^2+q^2+r^2=1+(\sum pq)^2\geqslant 1$ ...
ส่วนวิธีทำข้อ B ของผมนั้นจาก
$p^2+q^2+r^2=1+(\sum pq)^2$ ได้ว่าอสมการจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ
$pq+qr+rp=0$
ก็แทนค่า p,q,r กลับและจัดรูปเราจะได้ว่า
$a^2b+b^2c+c^2a=3abc$
จากตรงนี้ผมก็ให้
$a=m$
$b=m+n$ โดยที่ $m,n$ เป็นจำนวนตรรกยะ
แทนค่าลงไปในสมการได้ว่า
$0=mc^2+(-2m^2-mn+n^2)c+m^3+m^2n^2$
ก็จะได้ว่า $c=\frac{1}{2m}({2m^2+mn-n^2\pm \sqrt{m^2n^2+n^2-2mn^2-4m^2n^2} })$
ซึ่งตรงนี้ก็จะมีปัญหาคือ$\sqrt{m^2n^2+n^2-2mn^2-4m^2n}$ อาจเป็นจำนวนอตรรกยะผมก็เลยให้
$m^2n^2+n^2-2mn^2-4m^2n=k^2$ เสียโดยที่ k เป็นจำนวนตรรกยะจึงได้ว่า
$n=m+\sqrt{4m^2+k^2}$
ซึ่งผลที่ตามมาก็คือจะได้ว่า
$a=m $
$b=m+n=m+\sqrt{4m^2+k^2}$
$c=\frac{1}{2m}({2m^2+mn-n^2\pm \sqrt{m^2n^2+n^2-2mn^2-4m^2n^2} })$ (แทนค่า n ไปด้วย..แต่ผมขี้เกียจพิมพ์)
ซึ่งมีจำนวนตรรกยะ m,k เป็นอนันต์อยู่แล้วดังนั้นเราได้ว่ามีคู่อันดับ
$(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})=(x,y,z)$ ที่เป็นจำนวนตรรกยะเป็นจำนวนอนันต์อยู่แล้ว
