อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nongtum
IMO 2008, Question 2
(i) If $x,\ y$ and $z$ are real numbers, different from 1, such that $xyz = 1$ prove that $$\sum \frac {x^{2}}{(x - 1)^{2}} \geq 1$$
(ii) Prove that equality case is achieved for infinitely many triples of rational numbers $x,\ y$ and $z$.
|
(i) จะพิสูจน์อสมการต่อไปนี้ก่อน
ถ้า $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็น $1$ โดยที่ $abc=1$ แล้ว $$\frac{1}{(a-1)^2}+\frac{1}{(b-1)^2}+\frac{1}{(c-1)^2}\geq 1$$
Proof : อสมการสมมูลกับ $(a+b+c-3)^2\geq 0$
ให้ $a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z}$ แทนลงไปในอสมการข้างบนก็จบ
(ii) สมการเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $a+b+c=3 \leftrightarrow xy+yz+zx=3$
ให้ $m\geq 2$ เป็นจำนวนนับ
นิยาม
$x=\dfrac{1-m^2}{4}$
$y=\dfrac{2(m-1)}{(m+1)^2}$
$z=-\dfrac{2(m+1)}{(m-1)^2}$
จะได้ $x,y,z$ สอดคล้องระบบสมการ
$xy+yz+zx=3$
$xyz=1$
ตามต้องการ
