ขอลองข้อที่ 2 วันแรกก่อนแล้วกัน
จงหาพหุนาม P(x) ทั้งหมดซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง และ สอดคล้องกับสมการ
P(a - b) + P(b - c) + P(c - a) = 2P(a + b + c) ... (*)
สำหรับทุกจำนวนจริง a, b, c ซึ่ง ab + bc + ca = 0
ขั้นที่ 1 : จะแสดงว่า P(0) = 0 ดังนี้
0
ท0 + 0
ท0 + 0
ท0 = 0
ฎ แทน a = b = c = 0 ลงไปใน (*) จะได้ว่า
P(0) + P(0) + P(0) = 2P(0 + 0 + 0)
ฎ P(0) = 0
ขั้นที่ 2 : จะแสดงว่า P(x) เป็นฟังก์ชันคู่ ดังนี้
ให้ a = x, b = c = 0 จะได้ว่า
P(x - 0) + P(0 - 0) + P(0 - x) = 2P(x + 0 + 0)
ฎ P(-x) = P(x)
ขั้นที่ 3 : จะแสดงว่า P(x) = a
2x
2 + a
4x
4 + ... + a
2mx
2m ดังนี้
สมมติให้ P(x) = a
0 + a
1x + a
2x
2 + a
3x
3 + ... + a
nx
n ... (1)
\ P(-x) = a
0 - a
1x + a
2x
2 - a
3x
3 + ... + a
n(-x)
n ... (2)
เทียบสัมประสิทธิ์ของ x กำลังใด ๆ ระหว่าง (1) กับ (2) จะได้ว่า a
1 = a
3 = a
5 = ... = 0
\ P(x) = a
0 + a
2x
2 + a
4x
4 + ... + a
2mx
2m สำหรับจำนวนเต็มบวก m ใด ๆ
แต่ P(0) = 0
ฎ a
0 = 0
ฎ P(x) = a
2x
2 + a
4x
4 + ... + a
2mx
2m =
Si = 1ma
2ix
2i
ขั้นที่ 4 : จะแสดงว่า m
ฃ 2
(6x)(3x) + (3x)(-2x) + (-2x)(6x) = 0
ฎ P(3x) + P(5x) + P(8x) = 2P(7x) ... [
Note P(-8x) = P(8x) ]
เทียบสัมประสิทธิ์ของ x
2i ใด ๆ จาก P(x) ในขั้นที่ 3 จะได้ว่า 3
2i + 5
2i + 8
2i = 2(7
2i) หรือ 9
i + 25
i + 64
i = 2(49
i)
เมื่อ i = 1 จะได้ว่า 9
i + 25
i + 64
i = 9 + 25 + 64 = 98
และ 2(49
i) = 2(49) = 98
เมื่อ i = 2 จะได้ว่า 9
i + 25
i + 64
i = 81 + 625 + 4096 = 4802
และ 2(49
i) = 2(49)
2 = 4802
เมื่อ i
ณ 3 จะพิสูจน์ว่า 9
i + 25
i + 64
i > 2(49
i) ดังนี้
ให้ P(n) แทนข้อความ 64
n > 2(49
n) ทุกจำนวนนับ n
ณ 3
ขั้นฐาน : P(3) = 64
3 = 262,144 > 2(49)
3 = 235,298
ขั้นอุปนัย : สมมติให้ 64
k > 2(49
k) ทุกจำนวนนับ k จะแสดงว่า P(k + 1) เป็นจริง ดังนี้
ถ้า 64
k > 2(49
k) แล้ว 64(64)
k > 64(2)(49
k) = 128(49
k) > 98(49
k) = 2(49)(49
k)
นั่นคือ 64
k + 1 > 2(49)
k + 1 \ P(k + 1) เป็นจริง
โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จึงสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริง ทุกจำนวนนับ n
ณ 3
\ 64
i > 2(49
i)
ฎ 9
i + 25
i + 64
i > 2(49
i)
\ P(x) = a
2x
2 + a
4x
4 หรือ P(x) = dx
2 + ex
4 สำหรับ d, e
ฮ R ใด ๆ
ขั้นที่ 5 : ตรวจสอบว่า P(x) = dx
2 + ex
4 สอดคล้องตามเงื่อนไขโจทย์
เรารู้ว่า ถ้า x + y + z = 0 แล้วจะได้ว่า
1) x
2 + y
2 + z
2 = -2(xy + yx + zx)
2) x
4 + y
4 + z
4 = 2(xy + yz + zx)
2
(
Note : พิสูจน์เอาเอง ขี้เกียจพิมพ์แล้ว , พิสูจน์ได้อย่างน้อย 2 วิธี คือ
ก. ถ้าสมการ x
3 + px
2 + qx + r = 0 มีรากของสมการเป็น a, b, c แล้วจะได้ว่า S
n + pS
n - 1 + qS
n - 2 + rS
n - 3 = 0 เมื่อ S
n = a
n + b
n + c
n , n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ
ข. ให้ (1 + ax)(1 + bx)(1 + cx) = 1 + px + qx
2 + rx
3 จากนั้นจึง Take log แล้วใช้ log(1 + x) = x - x
2/2 + x
3/3 - ... แล้วจึงเทียบสัมประสิทธิ์ของ x
2, x
4 )
\ (a - b)
2 + (b - c)
2 + (c - a)
2 = -2[ (a - b)(b - c) + (b - c)(c - a) + (c - a)(a - b) ]
= ... กระจายแล้วจัดรูปจะได้ -2[ (ab + bc + ca) - (a
2 + b
2 + c
2) ]
= 2(a
2 + b
2 + c
2) = 2(a + b + c)
2
[ เพราะ (a + b + c)
2 = a
2 + b
2 + c
2 + 2(ab + bc + ca) = a
2 + b
2 + c
2 ]
และ (a - b)
4 + (b - c)
4 + (c - a)
4 = 2[ (a - b)(b - c) + (b - c)(c - a) + (c - a)(a - b) ]
2
= 2(a
2 + b
2 + c
2)
2 = 2(a + b + c)
4
\ จาก (*) และ P(x) = dx
2 + ex
4 จะได้ว่า
L.H.S. : P(a - b) + P(b - c) + P(c - a)
= d[ (a - b)
2 + (b - c)
2 + (c - a)
2] + e[ (a - b)
4 + (b - c)
4 + (c - a)
4]
= 2(a + b + c)
2 + 2(a + b + c)
4
R.H.S : 2P(a + b + c) = 2d(a + b + c)
2 + 2e(a + b + c)
4
\ L.H.S = R.S.H จึงได้ว่า P(x) = dx
2 + ex
4 เป็นฟังก์ชันที่ต้องการ