ข้อนี้ผมนับเอาธรรมดาเลยครับ(วิธีนี้ออกจะมั่วๆหน่อยนะครับ ถ้าผิดพลาดอย่างไรก็ขออภัยด้วยนะครับ
)
5.ให้ $k,n \in \mathbb{N}$ ซึ่ง $k \geq n$ และ $k-n$ เป็นจำนวนคู่
ขั้นตอนที่ $1$ หาค่า $N$
พิจารณาการเลือกลำดับโดยให้ $k_i$ คือจำนวนของขั้นตอนที่กระทำที่โคมไฟที่ $i$ จะอยู่ในสถานะเปิดซึ่งเป็นจำนวนคู่เสมอ โดยไม่นับการกระทำที่ต้องกระทำกับโคมไฟที่ $1$ ถึงโคมไฟที่ $n$ เพราะเป็นการกระทำที่ต้องทำอยู่แล้ว ซึ่งเห็นได้ชัดว่า $\sum_{i = 1}^{2n}k_i=k-n$ ดังนั้นจำนวนลำดับทั้งหมดของ $N$ คือ $\sum {{k-n}\choose{k_1,k_2,...,k_{2n}}}=(2n)^{k-n}$
ขั้นตอนที่ $2$ หาค่า $M$
ในทำนองเดียวกับการหาค่า $N$ แต่จะเห็นว่า $\sum_{i=1}^{2n}k_i=\sum_{i=1}^{n}k_i=k-n$ เพราะว่า $k_{n+i}=0$ สำหรับทุก $i=1,2,3,...,n$ อันเนื่องมาจากไม่มีการกระทำเกิดกับโคมไฟที่ $n+1$ ถึง $2n$ ดังนั้นจำนวนลำดับทั้งหมดของ $M$ คือ $\sum {{k-n}\choose{k_1,k_2,...,k_{n}}}=n^{k-n}$
ชั้นตอนที่ $3$ หาค่า $N/M$ จากขั้นตอนที่ $1$ และ $2$ จะได้ว่า
$$N/M=\frac{(2n)^{k-n}}{n^{k-n}}=2^{k-n}$$
ป.ล.ขอรบกวนให้เพื่อนๆพี่ๆน้องๆที่ทำข้อ 3 กับข้อ 6 ได้แล้วมาช่วยแสดงให้ผมดูด้วยนะครับ
ผมคิดไม่ออกครับ
