มหาวิทยาลัยข้อ 5
โจทย์ :
กำหนดลำดับ $\displaystyle{a_{n}=\sin(n!\cdot\pi\cdot e)}$ ลำดับนี้ลู่ออกหรือลู่เข้าสู่ค่าใดจงพิสูจน์
วิธีทำ :
เขียน $\displaystyle{e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}}$ จะได้ว่า
$$|a_{n}|=\sin\left|m\pi+\pi\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]\right)\right|,\exists m\in\mathbb{N}$$
เมื่อ$\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]}$มีค่าน้อยๆประมาณ$\sin x=x$แล้วใส่ลิมิตเข้าไปจะได้ว่า
$$\lim_{n\rightarrow\infty}|a_{n}|=\lim_{n\rightarrow\infty}\sin\left|m\pi+\pi\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]\right)\right|=\pi\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]=0$$
ทำให้ได้ว่า $a_{n}$ ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์สู่ 0
คำอธิบายเพิ่มเติม :
$$\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots$$
$$0\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\left[\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{n+j}\right]\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n-1}=0$$
หมายเหตุ :
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=207438
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
BUT
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$