11.
ลากเส้นตั้งฉาก (ความยาว $1$ หน่วย) จาก $D$ ลงมาตั้งฉากกับ $AX$ และจาก $C$ ลงมาตั้งฉากกับ $BX$
จะได้ว่า
$AD = cosec\,6^{\circ}$
$DX = cosec\,78^{\circ}$
$BC = cosec\,42^{\circ}$
$CX = cosec\,66^{\circ}$
แสดงว่า ต้องการพิสูจน์ว่า $cosec\,6^{\circ} + cosec\,78^{\circ} - cosec\,42^{\circ} - cosec\,66^{\circ} = 8$
สังเกตว่า สำหรับ $x = 6^{\circ}, 78^{\circ}, -42^{\circ}, -66^{\circ}, 30^{\circ}$ จะได้ $sin\,5x = \frac{1}{2}$
พิจารณา $sin\,5x$ ในรูปของ $sin\,x$
จาก $cos\,5x + i\,sin\,5x = (cos\,x + i\,sin\,x)^{5}$
กระจายฝั่งขวา แล้วจัดพจน์ของส่วนจินตภาพ จะได้ว่า
$sin\,5x = sin^{5}\,x - 10\,sin^{3}\,x\,cos^{2}\,x + 5\,sin\,x\,cos^{4}\,x$
$= sin^{5}\,x - 10\,sin^{3}\,x\,(1 - sin^{2}\,x) + 5\,sin\,x\,(1 - sin^{2}\,x)^{2}$
$= sin^{5}\,x - 10\,sin^{3}\,x + 10\,sin^{5}\,x + 5\,sin\,x\,(1 - 2\,sin^{2}\,x + sin^{4}\,x)$
$= 16\,sin^{5}\,x - 20\,sin^{3}\,x + 5\,sin\,x$
จาก Fundamental Theorem of Algebra จะได้ว่า
$sin\,6^{\circ}, sin\,78^{\circ}, -sin\,42^{\circ}, -sin\,66^{\circ}, sin\,30^{\circ}$
เป็นคำตอบทั้งหมดของสมการ $16s^{5} - 20s^{3} + 5s = \frac{1}{2}$
หรือ $32s^{5} - 40s^{3} + 10s - 1 = 0\,\,...............(1)$
แยกตัวประกอบ $(2s - 1)(16s^{4} + 8s^{3} - 16s^{2} - 8s + 1) = 0$
เนื่องจาก $s = sin\,30^{\circ} = \frac{1}{2}$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการ $(1)$
ดังนั้น $sin\,6^{\circ}, sin\,78^{\circ}, -sin\,42^{\circ}, -sin\,66^{\circ}$ เป็นคำตอบทั้งหมดของสมการ
$16s^{4} + 8s^{3} - 16s^{2} - 8s + 1 = 0\,\,...............(2)$
เนื่องจาก $0$ ไม่ใช่คำตอบของสมการ $(2)$
หารตลอดสมการ $(2)$ ด้วย $s^{4}$ และกำหนดให้ $\displaystyle{t = \frac{1}{s}}$ จะได้ว่า
$t^{4} - 8t^{3} - 16t^{2} + 8t + 16 = 0\,\,...............(3)$
เป็นสมการที่มีคำตอบทั้งหมดเป็น $cosec\,6^{\circ}, cosec\,78^{\circ}, -cosec\,42^{\circ}, -cosec\,66^{\circ}$
จาก Vieta's formulas ผลบวกของคำตอบของสมการ $(3)$ เท่ากับ $8$
ดังนั้น $AD + DX - (BC + CX) = 8$ หน่วย