[Heir of Ramanujan]

มัธยมปลาย ข้อ 5

Solution

ให้ $k$ เป็นผลต่างร่วมของลำดับเลขคณิต ($k$ เป็นจำนวนเต็มบวก เพราะ $0 < p < q < s < t$)
จะได้ $p, p+k, p+2k$ เป็นลำดับเลขคณิต
$\displaystyle{r = \frac{p+2k}{p+k}}$ เป็นอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต
และ $\displaystyle{p+k, p+2k, \frac{(p+2k)^{2}}{p+k}}$ เป็นลำดับเรขาคณิต

นั่นคือ $\displaystyle{\frac{(p+2k)^{2}}{p+k} - p = 30}$
$(p+2k)^{2} - p(p+k) = 30(p+k)$
$3pk + 4k^{2} = 30p + 30k$
หรือ $4k^{2} = 3(10p + 10k - pk)\,\,............(1)$
แสดงว่า $k$ หารด้วย $3$ ลงตัว

จาก $(1)$ จะได้ $4k^{2} - 30k = 30p - 3pk$
หรือ $k(4k - 30) = 3p(10 - k)\,\,............(2)$
เนื่องจาก $k$ และ $p$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ $4k - 30 > 0$ และ $10 - k > 0$
นั่นคือ $7.5 < k < 10$
(กรณี $4k - 30 < 0$ และ $10 - k < 0$ จะไม่สามารถหาค่าของ $k$ ได้)

จาก $k$ หารด้วย $3$ ลงตัว และ $7.5 < k < 10$ จะได้ว่า $k = 9$
แทนค่า $k$ ใน $(2)$ จะได้ $p = 18$

จะได้ว่า ลำดับเลขคณิตคือ $18, 27, 36$ และ ลำดับเรขาคณิตคือ $27, 36, 48$
ดังนั้น $p + q + s + t = 18 + 27 + 36 + 48 = 129$

หมายเหตุ
ที่มา: USA AIME 2003