$\clubsuit$ Normalization กับ Homogenization เป็นกระบวนการที่ตรงข้ามกันครับ
ทั้งสองอย่างนี้เกี่ยวข้องกับ Homogeneous Function
ขออธิบายเฉพาะสามตัวแปรนะครับ
ให้ $F(a,b,c)$ เป็นฟังก์ชันของสามตัวแปร $a,b,c$ เช่น $F(a,b,c)=a+b+c$
เรากล่าวว่า $F$ เป็น homogeneous function of degree n ถ้า
$$F(\lambda a,\lambda b,\lambda c)=\lambda^nF(a,b,c)$$
ทุก $\lambda$ ที่อยู่ในเซตที่เราสนใจ เช่น จำนวนจริงบวก หรือ จำนวนจริง
ตัวอย่าง $F(a,b,c)=a+b+c$ เป็น homogeneous function degree 1
$F(a,b,c)=a^2+b^2+c^2$ เป็น homogeneous function degree 2
แต่ $F(a,b,c)=a+b+c+1$ ไม่เป็น homogeneous function
ทำไมต้อง homogeneous function ?
ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้
สมมติ $F(a,b,c)=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$
จะเห็นว่า $F$ เป็น homogeneous function degree 0
สมมติเราสร้างตัวแปรใหม่เป็น
$x=\dfrac{a}{a+b+c}$
$y=\dfrac{b}{a+b+c}$
$z=\dfrac{c}{a+b+c}$
เราจะได้ $x+y+z=1$ และ
$F(x,y,z)=F(a,b,c)$ (why?)
ดังนั้น ค่าสูงสุดและต่ำสุดของ $F(a,b,c)$ กับ $F(x,y,z)$ จะมีค่าเท่ากัน
แต่การหาจาก $F(x,y,z)$ น่าจะดีกว่าเ้พราะเรามีเงื่อนไข $x+y+z=1$ แถมมาด้วย
กระบวนการเปลี่ยนตัวแปรจาก $a,b,c$ เป็น $x,y,z$ นี้เราเรียกว่า normalization ครับ
นี่คือที่มาว่าทำไมเราถึงสามารถสมมติว่า $a+b+c=1$ ในการพิสูจน์อสมการ
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$$
ซึ่งจริงๆแล้ว $a,b,c$ ที่สอดคล้องเงื่อนไข $a+b+c=1$ ก็คือตัวแปร $x,y,z$ ที่นิยามตามแบบข้างบนนี่เอง
เราสามารถ normalize ฟังก์ชันได้เยอะแยะมากมายครับ เช่น ให้
$x=\dfrac{3a}{a+b+c}$
$y=\dfrac{3b}{a+b+c}$
$z=\dfrac{3c}{a+b+c}$
เราก็ยังได้ $F(a,b,c)=F(x,y,z)$ เหมือนเดิม แต่คราวนี้ได้เงื่อนไข
$x+y+z=3$ มาแทน
$\spadesuit$ กระบวนการ Homogenization ก็คือการทำอสมการที่มีเงื่อนไข
ให้กลับไปเป็นอสมการของ homogeneous function ที่ไม่มีเงื่อนไขนั่นเอง
เช่น เรามีอสมการ $a+b+c\geq 3$ เมื่อ $abc=1$
เราอาจจะ homogenize ให้เป็น
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$
ซึ่งก็คืออสมการ $AM-GM$ นั่นเอง
โดยทั่วไป homogenization ทำยากกว่า normalization ครับ
เำพราะเราไม่รู้ว่าจะคืนตัวแปรไปอยู่ส่วนไหนดี แต่หลักๆก็คือ
หลังจาก homogenize แล้ว ฟังก์ชันจะต้อง homogeneous ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
|