อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ warut_suk
...เลือกได้แน่หรือครับ
|
ต้องขอโทษด้วยครับ พอดีตอนนั้นสะเพร่าไป... ขอแก้ตัวละกันนะครับ
62. แบ่ง $n+1$ เป็น 2 กรณีดังนี้
i)$n+1$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
1)$n+1=4$ จะได้ $(n!+1,(n+1)!)=1$
2)$n+1>4$ ซึ่งจะได้ $(n+1)|n!$ และจาก $k|n!$ ทุก $k=1,2,...,n$, $\therefore (n!+1,k)=1$ ทุก $k=1,2,...,n+1$
$\therefore (n!+1,(n+1)!)=(n!+1,(1)(2)...(n+1))=1$
ii)$n+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ
จาก $k|n!$ ทุก $k=1,2,...,n$ $\therefore (n!+1,k)=1$ ทุก $k=1,2,...,n$
และจาก Wilson's Theorem, ได้ว่า $(n+1)|n!+1$
$\therefore (n!+1,(n+1)!)=(n!+1,n+1)$ ($\because (n!+1,k)=1$ ทุก $k=1,2,...,n$)
$=n+1$ ($\because (n!+1,n+1)=n+1$)
ดังนั้นสรุปได้ว่า
$(n!+1,(n+1)!)=\cases{1 & , n+1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ \cr n+1 & , n+1 เป็นจำนวนเฉพาะ}$