[passer-by]

รีบ post ให้ก่อนที่ผมจะลืม

เอาไว้อุ่นเครื่องก่อน สสวท รอบ 2 แล้วกันครับ โดยจะขอ post part 1 ก่อน แล้ว part 2 จะตามมาใกล้ๆ 20 สิงหาครับ

WARM-UP (PART 1 : 2008) (Selected from many sources)

1. พิสูจน์ว่ามีจำนวนนับเป็นจำนวนอนันต์ที่ ไม่สามารถเขียนได้ในรูป $ n^2+p$ เมื่อ n เป็นจำนวนนับและ p เป็นจำนวนเฉพาะ

2. I เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ABC วงกลมดังกล่าวสัมผัส BC,CA,AB ที่ D,E,F ตามลำดับ ถ้า AD ตัดวงกลมที่ P และ M เป็นจุดกึ่งกลาง EF พิสูจน์ว่า ถ้า P,M,I,D ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกันแล้ว P,M,I,D เป็น cyclic

3. U เป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก 29 จำนวน $ S_1, S_2 ,\cdots S_{10} \subset U $ (เหมือนกันได้) ถ้าทุก 5 subsets ที่เลือกขึ้นมาจาก 10 subsets ดังกล่าว บรรจุ 29 จำนวนครบ พิสูจน์ว่ามี 3 subsets (จาก 10 subsets) ที่บรรจุ 29 จำนวนครบเช่นกัน

4. ถ้า $ a_1 ,a_2,a_3 \cdots a_n $ เป็นจำนวนเต็มที่ต่างกันหมด พิสูจน์ว่าพหุนาม $ (x-a_1)^2(x-a_2)^2 \cdots (x-a_n)^2 +1 $ ไม่สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของ 2 nonconstant polynomials ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

5. วงกลม 2 วงสัมผัสภายในที่ T คอร์ด AB ของวงกลมใหญ่สัมผัสวงกลมเล็กที่ P เส้นแบ่งครึ่งมุม A,B ของสามเหลี่ยม TAB ตัดกันที่ I พิสูจน์ว่า T, I, P อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

6. กำหนดจำนวนจริง $ a_1 ,a_2 , \cdots a_{2008}$ โดย $$ \sum_{k=1}^{2008} k^r a_k = 0 \,\,\, \forall r \in \{1,2,\cdots 2007\} $$ และ $$ \sum_{k=1}^{2008} k^{2008} a_k = 1$$ หาค่า $ a_1$

7. กำหนด $ S_n$ แทนจำนวนวิธีเขียน n ในรูปผลคูณ 2 จำนวนนับที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน พิสูจน์ว่า ทุกจำนวนนับ $ n\geq 2 $ จะมีจำนวนนับ $ a_1, a_2 , \cdots a_n$ เรียงกัน ซึ่ง $ S_{(a_1)!} = S_{(a_2)!} = \cdots =S_{(a_n)!} $

8. (i) ยกตัวอย่างฟังก์ชัน 1-1 ทั่วถึง จาก (0,1) ไปยังเซตของจำนวนจริง
(ii) ยกตัวอย่างฟังก์ชัน 1-1 ทั่วถึง จาก [0,1) ไปยัง (0,1)

9. ให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมที่สามารถสร้างวงกลมแนบใน และตัวมันเองก็เป็น cyclic ด้วย ถ้า $r$ แทนรัศมีวงกลมแนบในและ $ R$ แทนรัศมีวงกลมล้อมรอบ ABCD พิสูจน์ว่า $ R \geq \sqrt{2}r$

10. สี่เหลี่ยมผืนผ้า มีด้านกว้างและยาวเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เกิน 2550 หน่วย ถ้าเลือกสื่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้มา 2551 รูป พิสูจน์ว่ามี
สี่เหลียมผืนผ้า 3 รูปต่างกัน สมมติเป็น A,B,C โดย A บรรจุใน B และ B บรรจุใน C ได้พอดี

11. สามเหลี่ยม ABC มี มุม B,C กาง 60 และ 70 องศา กำหนด P เป็นจุดภายในสามเหลี่ยม(ที่ fix ไว้) โดยมี D, E เป็นจุดบน AB, AC ซึ่ง BD=CE และทำให้ PD+PE มีค่าน้อยสุด ถ้า P,D,E ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน หาขนาดมุม DPE

12. ให้ $a,b,u,v$ เป็นจำนวนจริง โดย $ av-bu =1 $ พิสูจน์ว่า $ a^2+b^2+u^2+v^2+au+bv \geq \sqrt{3} $

13. พิสูจน์ว่า ผลคูณของจำนวนนับ 3 จำนวนเรียงกัน ไม่สามารถเขียนเป็น perfect power ได้ (กล่าวคือ กำลังสองสมบูรณ์ , กำลังสามของจำนวนเต็ม ฯลฯ )

14. สามเหลี่ยม ABC มี $ BC^2=4F\cot A $ เมื่อ F แทนพื้นที่สามเหลี่ยม ABC ถ้า G แทนจุดตัดเส้นมัธยฐานและ O แทนจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC หาขนาดมุม OGA

15. ถ้า $ a_1 =1 , b_1=2 $ และ $ a_{n+1} = \frac{1+a_n+a_nb_n}{b_n}$ ,$ b_{n+1} = \frac{1+b_n+a_nb_n}{a_n}$ พิสูจน์ว่า $ a_{2008} < 5 $
--------------------------------------------------------------------------------------

p.s. ถ้าต้องการ Hint ข้อไหนก็บอกได้นะครับ แต่เผลอๆอาจจะไม่ต้อง Hint เพราะ น้องๆเดี๋ยวนี้ ขั้นเทพกันหลายคน