[passer-by]

สำหรับน้อง Rose-joker ที่ถามมา ผมเรียบเรียง โจทย์ข้อ 11 ใหม่แล้วนะครับ ตอนแรกผมสลับประโยคผิดไปหน่อย เลยทำให้การสื่อสารผิดไปเยอะเลย ส่วน hint ใส่ไว้ให้ในความเห็นก่อนหน้าแล้วนะครับ
-------------------------------------------------------------------------------

ต่อด้วยข้อ 16-25 ครับ (อาจจะมีตามมาอีกเร็วๆนี้)

16. สามเหลี่ยม ABC มี $ \frac{\sin C}{\sin B } = \frac{\sin(\frac{B-C+2A}{4})}{\sin(\frac{C-B+2A}{4})}$ พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

17. ถ้าผลคูณของจำนวนนับ 45 จำนวน มีตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะบวกเพียงแค่ 10 จำนวนเท่านั้น พิสูจน์ว่า สามารถเลือกจำนวน k จำนวนจาก 45 จำนวนนี้ โดยผลคูณของ k จำนวนเป็น perfect square และ $ k \in \{1,2,3,4\} $

18. สี่เหลี่ยม ABCD เป็น cyclic M,N เป็นจุดกึ่งกลาง AC, BD ตามลำดับ ถ้า AC แบ่งครึ่งมุม BMD พิสูจน์ว่า BD แบ่งครึ่งมุม ANC

19. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ หาจำนวนนับ a,b,c,p ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ \frac{1}{p}= \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

20. ให้ $A= 2008^{2550}+2008^{2549}+2008^{2548}+\cdots+2008^1 +1 $ หาเศษทั้งหมดที่เป็นไปได้จากการหารตัวประกอบที่เป็นบวกของ A ด้วย 2551

21. พิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนนับ n ที่ทำให้ $ x^n+x-1 $ หารลงตัวด้วย $ x^3-x+1$

22. (ขอไม่แปลนะครับ เดี๋ยวจะงงกว่าเดิม) How many ways are there to arrange 5 identical red, 5 identical blue and 5 identical green marbles in a straight line such that every marble is adjacent to at least one marble of the same color as itself ?

23. จุด 50 จุดบนเส้นรอบวง ถูก label ตามใจชอบด้วยเลข 1-50 ไม่ซ้ำกัน โดยทุกคอร์ดที่เชื่อมจุดเหล่านี้ ถูกทาสี 1 สีจาก 4 สีที่กำหนด พิสูจน์ว่ามีคอร์ด 7เส้นที่มีคุณสมบัติต่อไปนี้พร้อมกัน
(1) นำเลขที่ label ไว้ที่จุดปลายคอร์ดทั้ง 7 เส้นมาบวกกัน ได้ผลลัพธ์เป็นเลขคี่
(2) คอร์ดทั้ง 7 เส้นไม่ตัดกัน แต่ทาสีเดียวกัน

24. สามเหลี่ยมด้านเท่า ABC ตัดวงกลมวงหนึ่งที่ D,E,F,G,H,J โดย
- D, E เป็นจุดตัดบน AB (D ใกล้ A มากกว่า B)
- F, G เป็นจุดตัดบน BC (F ใกล้ B มากกว่า C)
- H, J เป็นจุดตัดบน AC (H ใกล้ C มากกว่า A)
ถ้าพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า เท่ากับ $ 50 \sqrt{3} $ ตารางเซนติเมตร หาค่า $AJ+BE+CG$ ที่ทำให้ $ (AD+BF+CH)^2 +(DE+FG+HJ)^2 $ มีค่าน้อยสุด

25. หาค่า $ \binom{2008}{1003}-\binom{2008}{1004}+ \binom{2008}{1005}-\cdots -\binom{2008}{2008} $