[passer-by]

สำหรับข้อ 6 ที่ถามมาครับ

$ \begin{array}{rcl} \sec^2 \theta + 2cosec^2 \theta &=& (1+\tan^2 \theta)+2(1+\cot^2 \theta) \\ &=& (1+\tan^2 \theta)+2(1+\frac{1}{\tan^2 \theta}) \\ &=& 3+(\tan^2 \theta + \frac{2}{\tan^2 \theta}) \\ & \geq & 3+ 2\sqrt{2}\end{array}$
(ค่าต่ำสุดเกิดเมื่อ $ \tan \theta= \sqrt{\sqrt{2}}$ )

เหตุผลที่ $ \tan^2 \theta + \frac{2}{\tan^2 \theta} \geq 2\sqrt{2} $ อธิบายได้ 2 แบบครับ

แบบที่ 1 : สำหรับคนที่สนใจข้อสอบโอลิมปิก ก็จะตอบได้อย่างรวดเร็วว่า เป็นผลมาจาก AM-GM inequality

แบบที 2 : สมมติว่า $ y= x+ \frac{2}{x} $ โดยที่ $ x >0 $ ดังนั้น $ x^2 -yx+2 =0 $
x จะเป็นจำนวนจริงเมื่อ $ y^2-4(1)(2) \geq 0 \Rightarrow y \geq 2\sqrt{2} $ หรือที่เราเรียกกันว่าพิจารณาค่า discriminant ครับ (น่าจะได้เรียนแล้วในเรื่องสมการกำลังสอง)