C3.)$$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\binom{n}{k}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k+1}=\frac{1}{n+1}(2^{n+1}-1)$$
$N9.)$*****แก้ไขค้าบ*********
พิจารณาเฉพาะ $m=\frac{2n+1-\sqrt{8n+1}}{2} ....*$
ให้ $8n+1=r^2....**$; โดยที่ $r$ เป็นจำนวนเต็มคี่
สมมติให้ $n=(4k-1)(2k-1)$ แทนใน**
จะได้ $r^2 = 8(8k^2-6k+1)+1=64k^2-48k+9=(8k-3)^2$ ได้ $r = 8k-3 $
จึงให้ $n=(4k-1)(2k-1)$ แทนใน*
จะได้ $m = 8k^2-10k+3 = (4k-3)(2k-1)$
แทน $m,n$ ลงในโจทย์พบว่าเป็นจริง
ดังนั้นคู่อันดับที่สอดคล้องคือ$ (m,n),(n,m)$
โดยที่ $(m,n)=((4k-3)(2k-1),(4k-1)(2k-1))$ และ $k\in N$
