[karjang.r]

ข้อความเดิมของคุณ gon:
ทั้งตารางตรีโกณและล็อก ในปัจจุบันสามารถหามาจากได้หลากหลายวิธี แต่ไม่ว่าวิธีใดก็ตาม ล้วนแล้วแต่ต้องอาศัยอนุกรม (series) ซึ่งเป็นการประมาณค่าตามความละเอียดเท่าที่ต้องการ

ตาราง Log มาได้อย่างไร : นี่เป็นแนวทางหนึ่งนะครับ. จาก ท.บ.ไบโนเมียล เมื่อพิจารณาการกระจายของ (1 + 1/n)^nx แล้วแทน x = 1 และ เมื่อใช้ ท.บ.เลขยกกำลังกับ Take limit n ฎ ฅ เราก็จะได้อนุกรม
1 + x + x²/2! + x³/3! + ... = (1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... )^x

จากนั้นเมื่อเรากำหนดให้ e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ... เราจะได้สูตรของ e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

แล้วแทน x ด้วย cx ลงไปอีกทีก็จะได้ e^cx = 1 + (cx) + (cx)²/2! + (cx)³/3! + ...

จากนั้นให้ e^c = a หรือ c = log_ea (ซึ่งเราเรียกกันภายหลังว่า c = ln a นั่นเอง) แทนลงไปจะได้

a^x = 1 + xlog_ea + (xlog_ea)²/2! + ... อันนี้เราเรียกว่า Exponential Theorem

จากนั้นเมื่อเราต้องการหาค่าการกระจายของ log_e(1 + x) เราก็จะประยุกต์ Exponential Theorem โดยการเขียนใหม่เป็น a^y = 1 + ylog_ea + (ylog_ea)²/2! + ... จากนั้นแทน a ด้วย x + 1 ลงไปก็จะได้ว่า
(1 + x)^y = 1 + ylog_e(1 + x) + (ylog_e(1 + x))²/2! + ... ... (1)
ในขณะเดียวกันค่าของ (1 + x)^y โดย Binomial Theorem เมื่อ x < 1 กระจายออกมาจะได้ว่า
(1 + x)^y = 1 + yx + [y(y - 1)/2!]x² + ... ...(2)

จากนั้นเทียบ ส.ป.ส.ของ y จาก (1) และ (2) ก็จะได้ว่า
log_e(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ... .ซึ่งเป็นที่รู้กันดีว่าคือ logarithmic series

จากนั้นสมมติให้ x = 1/n ก็จะได้ว่า
log_e(n + 1) - log_en = 1/n - 1/(2n²) + 1/(3n³) - ... ... (3)
ทำนองเดียวกันแทน x = -1/n ก็จะได้ว่า
log_e(n) - log_e(n - 1) = 1/n + 1/(2n²) + 1/(3n³) + ... ... (4)

จับ (3) + (4) : log_e(n + 1) - log_e(n - 1) = 2(1/n + 1/(3n³) + 1/(5n⁵) + .... ... (*)

ซึ่งเป็นอนุกรมที่คอนเวอร์จเร็วมาก (และเป็นตัวเดียวกับ Cor. ที่พี่เขียนไว้ใน โจทย์แคลคูลัส Revisite โดยใช้อีกวิธี แต่พิมพ์ผิดนิดหน่อย)

อนุกรม (*) นี่ล่ะที่ไปใช้สร้างตาราง logarithm

ส่วนตารางตรีโกณ ก็มาจากอนุกรมตรีโกณ ที่รู้กันทั่วไปคือ
sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - ...
cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ...
เมื่อ x ในที่นี้เป็นจำนวนจริงใด ๆ