[nooonuii]

ขอเสนออีกวิธีครับ

จาก $a^3=b^3,a\neq b$ จะได้

$a^2+ab+b^2=0$

$~~~~~(a+b)^2=ab$

ให้ $u=\dfrac{a}{a+b},v=\dfrac{b}{a+b}$ จะได้

$u+v=1$

$~~~uv=1$

ให้ $a_n=u^n+v^n$ จะได้

$a_n=(u+v)(u^{n-1}+v^{n-1})-uv(u^{n-2}+v^{n-2})$

$~~~=a_{n-1}-a_{n-2}$

ลองคำนวณดูจะพบว่า

$a_1=1$

$a_2=-1$

$a_3=-2$

$a_4=-1$

$a_5=1$

$a_6=2$

$a_7=1$

$\vdots$

สังเกตว่า $a_{n+6}=a_n$ และ

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=0$

ดังนั้น

$A+B=a_1+a_2+\cdots + a_{2547}$

$~~~~~~~~=a_{2545}+a_{2546}+a_{2547}$

$~~~~~~~~=a_1+a_2+a_3$

$~~~~~~~~=-2$