(1) ถ้า $2n-1$ เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว สำหรับจำนวนเต็มบวก $a_1,a_2,\dots,a_n$ ใดๆที่แตกต่างกัน จะมี $i,j$ ซึ่ง $\displaystyle{\frac{a_i+a_j}{(a_i,a_j)}\ge 2n-1}$
แบ่งกรณีเป็น
1. $2n-1$ หาร $a_i$ ลงตัวทุก $i$ : ไม่ยากครับ
2. มี $i,j$ ที่ $2n-1$ หาร $a_i$ แต่ไม่หาร $a_j$ : ไม่ยากอีกเหมือนกัน
3. $2n-1$ ไม่หาร $a_i$ ทุก $i$ : ใช้ทฤษฎีบทรังนกพิราบครับ ให้รังที่ $k$ เป็น $\{m|m\equiv \pm k\bmod{2n-1}\}$ สำหรับ $k=1,2,\dots,n-1$
ลองพิสูจน์ดูนะครับว่า ถ้า $a,b$ อยู่ในรังเดียวกันแล้ว $\displaystyle{\frac{a+b}{(a,b)}\ge 2n-1}$