ขออนุญาตตอบแบบไม่ใช้ convexity ได้ไหมครับ(เพราะว่าทำไม่เป็น
)
ข้อ 2 ครับ
ฝั่งซ้าย โดย AM-HM ในบรรทัดที่ 1 ไปยังบรรทัดที่ 2
$\begin{array}{rcl}
\frac{x}{x+2y+2z}+\frac{y}{y+2z+2x}+\frac{z}{z+2x+2y}&
=&(2x+2y+2z)(\sum_{cyc}\frac{1}{x+2y+2z})-3\\
&\geq& \frac{18}{5} - 3\\
&=&\frac{3}{5} \end{array}$
ฝั่งขวา
จาก $\frac{x}{x+2y+2z}<\frac{x}{x+y+z}$
ดังนั้น $\sum_{cyc}\frac{x}{x+2y+2z}<\sum_{cyc}\frac{x}{x+y+z}=1$
จึงได้ว่าถ้า $x,y,z>0$ แล้ว $\frac{3}{5}\leq\frac{x}{x+2y+2z}+\frac{y}{y+2z+2x}+\frac{z}{z+2x+2y}<1$ ตามต้องการ