อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Maphybich
ให้ $A$ เป็นสับเซตของ $\mathbb{R} $ ที่ไม่ใช่เซตว่าง กำหนดสัญลักษณ์ $min A$ หมายถึงสมาชิกในเซต $A$ ที่มีค่าน้อยที่สุด และ $max A$ หมายถึงสมาชิกในเซต $A$ ที่มีค่ามากที่สุด , กำหนดให้ $a_i,b_i>0$ สำหรับ $i=1,2,3,...,n$ จงพิสูจน์ว่า $$\displaystyle{\min(\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},...,\frac{a_n}{b_n})\leqslant \frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+b_n}\leqslant \max(\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},...,\frac{a_n}{b_n})}$$
|
เป็นโจทย์จากหนังสือ อสมการ เล่มของ สสวท ที่เขียนโดย อาจารย์วิชาญ รึเปล่าครับ
ให้ $m=\min\Big(\dfrac{a_1}{b_1},\dfrac{a_2}{b_2},...,\dfrac{a_n}{b_n}\Big)$
$M=\max\Big(\dfrac{a_1}{b_1},\dfrac{a_2}{b_2},...,\dfrac{a_n}{b_n}\Big)$
จะได้
$m\leq\dfrac{a_1}{b_1}\leq M$
$m\leq\dfrac{a_2}{b_2}\leq M$
$~~~~~~~~\vdots$
$m\leq\dfrac{a_n}{b_n}\leq M$
ดังนั้น
$mb_1\leq a_1\leq Mb_1$
$mb_2\leq a_2\leq Mb_2$
$~~~~~~~~~~\vdots$
$mb_n\leq a_n\leq Mb_n$
เราจึงได้
$m(b_1+b_2+\cdots + b_n)\leq a_1+a_2+\cdots + a_n\leq M(b_1+b_2+\cdots+b_n)$
$m\leq \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}\leq M$
