[เจ็ดเดือน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

อยากรู้เรื่องนี้ถ้าผมจำไม่ิผิดหาดูได้ในหนังสือ เวทคณิต ของ อ.ศักดา บุญโตครับ มีถึง 100 เลยมั้งครับ ลองชิมซัก 1 ตัวอย่างก็แล้วกัน

การหารด้วย 13
จำนวนเต็ม m หารด้วย 13 ลงตัวก็ต่อเมื่อนำ 4 เท่าของตัวเลขหลักหน่วยของ m ไปบวกกับ m ที่ตัดตัวเลขหลักหน่วยออกแล้วผลบวกหารด้วย 13 ลงตัว
ต.ย. 55081 หารด้วย 13 ลงตัวหรือไม่
ขั้นที่ 1 แบ่ง 55081 ออกเป็น 2 ส่วน คือ 5508 กับ 1*4 = 4
ขั้นที่ 2 นำ 2 จำนวนที่ได้จากขั้นที่ 1 มาหาผลบวก 5508+4 = 5512
ในขั้นที่ 2 นี้ ถ้าตัวเลขยังมากอยู่ไม่ง่ายต่อการหารด้วย 13 ก็ทำซ้ำไปเรื่อยๆ จนตัวเลขง่ายต่อการหาร ดังตัวอย่างคือ แบ่ง 5512 ออกเป็น 2 ส่วนอีก
คือ 551 กับ 2*4 =8 แล้วนำมาบวกกัน 551+8 = 559 แล้วก็แบ่ง 559 ออกเป็น 55 กับ 9*4 = 36 แล้วเอามาบวกันอีกได้ 91 จะเห็นว่า
13 หาร 91 ลงตัว แต่ถ้ายังไม่พอใจจะทำต่อก็ได้ โดยแบ่ง 91ออกเป็น 9 กับ 1*4=4 แล้วเอามาบวกกันได้ 13 อย่างนี้เห็นชัดเลยว่า 13 หารลงตัว

ลองพิจารณาดูก็แล้วกันครับว่าจะตั้งหารเลยดีกว่าหรือใช่วิธีนี้ดีกว่า

วิธีนี้น่าพิศวงจริง ๆ สามารถบอกได้จริง ๆ ว่าหารลงตัวหรือไม่
แต่โจทย์เดิมนั้นต้องการทราบว่าหารแล้วเหลือเศษเท่าไหร่ ซึ่งวิธีนี้ใช้ไม่ได้ผล เช่น
54 mod 13 = 2 แต่วิธีนี้ได้ 5+4*4 = 21 แล้ว 2+1*4 = 6
543 mod 13 = 10 แต่วิธีนี้จะได้ 54+3*4 = 66 = 6+6*4 = 30 = 3
86578 mod 13 = 11
และอื่น ๆ อีกมากมาย
อย่างไรก็ตาม สิ่งที่สำคัญกว่า วิธีลัด คือ สร้างวิธีลัดมาได้อย่างไร
ถ้าเรารู้วิธีสร้างทางลัด เราก็จะสามารถนำไปประยุกต์ใช้สร้างทางลัดสำหรับกรณีอื่นได้
แต่ถ้าเรารู้แต่ทางลัด เราก็ต้องเดินตามทางลัดที่เขาสร้างไว้ให้ตลอดไป
เหมือนกับที่เราซื้อเทคโนโลยีต่างชาติมาใช้อยู่ทุกวันนี้ เพราะเราสร้างเองไม่เป็น

สำหรับการหาเศษจากการหารด้วยเลข 11 นั้น ให้เอาเลขตำแหน่งคู่ไปหักลบกับเลขตำแหน่งคี่
แล้วนำผลสะสมรวมกันจนเหลือเลขไม่เกินสองหลัก ผลที่ได้จะเป็นเศษจากการหาร
เช่น
78643 = 7 - 8 + 6 - 4 + 3 (ให้หลักหน่วยเป็น + เสมอ) = เศษ 4
76745876 = -7+6-7+4-5+8-7+6 = เศษ -1 = 11 - 1 = เศษ 10
104030502 = 1-0+4-0+3-0+5-0+2 = 15 = 15 - 11 = เศษ 4
1040305020 = -1+0-4+0-3+0-5+0-2+0 = -15 = -15 + 22 = เศษ 7

วิธีนี้มาได้อย่างไร

เลขหลักคี่ หาร 11 ได้เศษเท่ากับเลขนั้น เช่น
1 mod 11 = 1
100 mod 11 = (99 + 1) mod 11 = 1 (เพราะ 99 mod 11 = 0)
10000 mod 11 = (9999 + 1) mod 11 = 1
40000 mod 11 = 4*(9999 + 1) mod 11 = (4*9999 + 4) mod 11 = 4

เลขหลักคู่ หาร 11 ได้เศษติดลบของหลักนั้น
10 mod 11 = -1
1000 mod 11 = 10*(99+1) mod 11 = (10*99+10) mod 11 = 10 mod 11 = -1
4000 mod 11 = 40*(99+1) mod 11 = 40 mod 11 = (40-44) mod 11 = -4

ดังนั้น จึงนำเลขหลักคี่กับหลักคู่มาหักลบกัน

ไม่ว่าจะอย่างไรก็ตาม ข้าพเจ้ายังคงเชื่อว่า วิธีการได้มาซึ่งคำตอบนั้นสำคัญกว่าคำตอบมาก
เพราะนั้นคือสิ่งที่ทำให้เราเรียนรู้ ไม่ใช่เรียนจำ

หมายเหตุ วิธีการนี้เป็นวิธีการที่เด็กประถม (ตามชื่อของห้องนี้) ก็น่าจะทำความเข้าใจได้
เพราะไม่ได้ใช้ทฤษฎีอะไรลึกซึ้ง

เดิมที ข้าพเจ้าไม่ได้เขียนกระทู้นี้ลงในห้องเด็กประถมต้น
แต่เจ้าของเว็ปคงเห็นว่า มันง่ายเกินไป ก็เลยย้ายกระทู้นี้มาไว้ที่ห้องประถม
แต่ข้าพเจ้าว่าตอนที่ข้าพเจ้าเป็นเด็กประถม ยังคิดอะไรแบบนี้ไม่เป็นเลย
สงสัยเด็กสมัยนี้คงจะเก่งกว่าเด็กสมัยก่อนมาก
โชคดีจริงที่ข้าพเจ้าเกิดมาเร็ว ถ้าเกิดมาช้ากว่านี้
สงสัยไม่ได้เรียนมัธยมแน่ เพราะแก้โจทย์เด็กประถม
ใน math center ไม่ได้สักข้อ