อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ มือสังหารเงา
Prove that
$0\leqslant yz + zx + xy - 2xyz\leqslant \frac{7}{27} $
where x; y and z are non-negative real numbers for which x + y + z = 1
|
$xy+yz+zx-2xyz=(xy+yz+zx)(x+y+z)-2xyz$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)+xyz$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq 0$
จากอสมการ
$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)\leq xyz$
จะได้
$(1-2x)(1-2y)(1-2z)\leq xyz$
$4(xy+yz+zx)\leq 1 + 9xyz$
คูณด้วย $6$ ทั้งสองข้างได้
$24(xy+yz+zx)\leq 6 + 54xyz$
และจาก
$3(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^2=1$
บวกทั้งสองอสมการเข้าด้วยกันได้
$27(xy+yz+zx)\leq 7 + 54xyz$