การที่จะหาปริมาตรได้เราต้องรูปความสูงของพีระมิดยอด
หาความสูงโดยสามเหลี่ยมคล้ายจากรูป(ซ้าย)
ได้ว่า $\frac{x}{x+h}=\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}}$
${\frac{x}{x+h}}=\frac{a}{b}$
ได้ $x=\frac{bh}{a-b}$
so $ปริมาตรของพัระมิดยอด = {\frac{1}{3}}b^2(\frac{bh}{a-b})$
และ $ปริมาตรของพีระมิดใหญ่ =\frac{1}{3}{a^2}(h+{\frac{bh}{a-b}})$
เพราะว่า ปริมาตรพีระมิดยอดตัด = พีระมิดใหญ่-พีระมิดยอด
$={\frac{1}{3}}{a^2}(h+\frac{bh}{a-b})-{\frac{1}{3}}{b^2}(\frac{bh}{a-b})$
$={\frac{1}{3}}{a^2}(\frac{ah+bh-hb}{a-b})-{\frac{1}{3}}{b^2}(\frac{bh}{a-b})$
$={\frac{1}{3}}{a^2}(\frac{ah}{a-b})-{\frac{1}{3}}{b^2}(\frac{bh}{a-b})$
$={\frac{1}{3}}({\frac{a^3h}{a-b}})-{\frac{1}{3}}({\frac{b^3h}{a-b}})$
$={\frac{h}{3(a-b)}}({a^3-b^3})$
$={\frac{h}{3(a-b)}}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$
เพราะฉะนั้น
$ปริมาตรของพีระมิดยอดตัด={\frac{h}{3}}{(a^2+ab+b^2)}$
กรวยก็ใช้การพิสูจน์คล้ายๆกันนะครับ ลองไปพิสูจน์เอง