อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ faa
จำนวนเต็มบวก k ที่มากที่สุดที่ทำให้ $10^k$ หาร 400! ลงตัว
คือ $k=[\frac{400}{5}]$+$[\frac{400}{5^2}]$+ $[\frac{400}{5^3}]$+ $[\frac{400}{5^4}]$ = 80+16+3+0=99
จะรู้ได้อย่างไรว่าต้องหยุดที่ $5^4$ ครับ และถ้าถามว่ามี 0ทั้งหมดกี่ตัว จะต้องตอบกี่ตัวครับ
และ 100! จะหยุดอยู่ที่ $5^3$ มีหลักการอย่างไรครับ
|
ผมขอต่อยอดให้กระจ่างแล้วกัน
สมมติ 100! ก่อนละกันว่ามี 7 กี่ตัวในนี้
$100! = 1\times2\times3\times...\times100$
ตัวทีมี 7 เป็นตัวประกอบคือ 7,14,21,...,98 ใน 100! อ่ะครับแล้วเราจะรู้ได้อย่างไรว่ามีกี่ตัวก็ใช้สูตรหาพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิตธรรมดาๆ อ่ะครับ
7+(n-1)(7) = 98
n = 14
จะเห็นว่าถ้าหาตัวที่ 7 หารลง 1 ครั้ง ย้ำ!หารลงเพียง 1 ครั้ง จะมีทั้งสิ้น 14 ตัวครับแต่ถ้าหาร 7 ลง 2 ครั้งมันหมายความว่าอย่างไร มันก็คือการหาร $7\times7= 49$ ลงตัวนั่นเอง และจะพบว่าใน 100! เนี่ยจะมีตัวหาร 7 ลงตัว 2 ครั้งเพียง 2 ตัวคือ 49 ตัวที่ 2 จะเป็น 98 แต่ตัวที่ 3 คือ 147 มันเกิน 100 เราจะไม่นับเพราะเราคูณเลขถึงแค่ 100 จึงสรุปว่ามีแค่เพียง 2 ตัวที่หาร 7 ลง 2 ครั้ง
แล้วถ้าหาร 7 ลง 3 ครั้งล่ะคำตอบคือไม่มีครับเพราะการหาร 7 ลง 3 ครั้งนั้นคือต้องหาร $7\times7\times7 = 343$ลงตัวซึ่งมันเกิน 100 ไปแล้ว
$\therefore$ 100! มี 7 อยู่ 14+2 = 16 ตัวครับ
ทั้งหมดที่พล่ามมาจึงเป็นที่มาของการหาว่า n! มี k อยู่กี่ตัว ลองใช้วิธีหารไปเรื่อยๆน่ะแหละดูว่า 100! จะมี 7 กี่ตัว
100 หารด้วย 7 ได้ 14.กว่าๆ
14.กว่า หารด้วย 4 ได้ 2.กว่าๆๆ
2.กว่าๆ หารด้วย 7 ได้ 0.กว่าๆๆๆ
จะได้ 100! มี 7 อยู่ 14+2=16 ตัวครับ