อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer
เพิ่มโจทย์ครับ
53. (ขอ Solution ที่ประมาณว่าแทน $x=0,1,...,100 (mod101)$ แล้วบอกว่ามัน bijective นะครับ)
พิจารณาพหุนาม
$T(x)=x^3+14x^2-2x+1$
แสดงให้เห็นว่าจะมีจำนวนนับ n ที่ $n>1$ ที่ $T^{(n)}(x)-x$ ถูกหารด้วย 101 ลงตัวสำหรับทุกจำนวนเต็ม x โดยที่ $T^{(n)}(x)=T(T(T...T(x)...)))$ มี T n ตัว
|
ให้ $g(x) = f(x) \pmod{101}$
หากพิจารณา orbit ของแต่ละจุดที่ส่งโดย $g$ จะได้ดังนี้
$0 \to 1\to 14\to 7\to 6\to 2\to 61\to 93\to 98\to 5\to 62\to 30\to 50\to$
$18\to 31\to 57\to 84\to 77\to 46\to 13\to 94\to 55\to 51\to 92\to $
$20\to 27\to 41\to 60\to 45\to 4\to 79\to 11\to 75\to 21\to 42\to 24\to$
$25\to 86\to 8\to 80\to 87\to 29\to 49\to 70\to 88\to 95\to 99\to 53\to $
$36\to 89\to 10\to 58\to 97\to 68\to 81\to 65\to 43\to 66\to 0$
$3\to 47\to 23\to 35\to 63\to 64\to 100\to 16\to 74\to 72\to 69\to 15\to $
$32\to 76\to 44\to 91\to 17\to 38\to 71\to 3$
$9\to 28\to 48\to 40\to 67\to 78\to 33\to 12\to 85\to 26\to 22\to 9$
$19\to 59\to 82\to 52\to 96\to 34\to 73\to 90\to 83\to 54\to 19$
$37\to 56\to 37$
$39\to 39$
เมื่อ $i\to j$ หมายถึง $g(i)=j$
จากการส่งที่แจกแจงมาทั้งหมดเราจะได้ว่า $g$ เป็น permutation
ให้คาบหมายถึงจำนวนครั้งของการส่งที่เริ่มจากจุดหนึ่งแล้วกลับมาที่จุดเดิม
เช่น $0$ มีคาบเป็น $58$ ดังนั้น $g^{58}(0)=0$ ในทำนองเดียวกัน
$g^{58}(1)=1$ ด้วย (ทำไม?)
ดังนั้นเราจะได้ว่าคาบของแต่ละจุดจะเป็น $58,19,11,10,2,1$
เนื่องจาก $[58,19,11,10,2,1]=60610$
เราจะได้ว่า $g^{60610}(x)=x$ ทุกค่า $x=0,…,100$
ดังนั้น $T^{60610}(x)\equiv x\pmod{101}$ ทุกจำนวนเต็ม $x$